Lineare Gleichungssysteme (Substitution/Additionsverfa... - Arbeitsblatt für Mathe (Klasse 10)

Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems durch das Einsetzungsverfahren:
a) $y = 2x + 1$ und $3x + y = 6$.
b) $x = 3y - 2$ und $2x + y = 10$.

Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren: $2x + 3y = 8$ und $4x - 3y = 4$.

Wende das Additionsverfahren an, um das System zu lösen:
a) $5x + 2y = 16$ und $3x - y = 5$.
b) $4x - 5y = 2$ und $2x + 3y = 12$.

Löse das Gleichungssystem $3x - 4y = -1$ und $x + 2y = 3$ durch Einsetzen.

Gegeben ist das System:
a) $x + y = 10$ und $x - y = 2$.
b) $2x + 2y = 20$ und $3x - y = 5$.
c) $0,5x + y = 5$ und $x - 2y = -10$.

Löse durch Gleichsetzen: $y = 3x - 5$ und $y = -x + 3$.

Bestimme die Lösung für:
a) $2x + y = 5$ und $4x + 2y = 10$.
b) $x - y = 3$ und $2x - 2y = 5$.

Löse das System $0,2x + 0,3y = 1,1$ und $0,5x - 0,1y = 0,8$.

Ein Rechteck hat einen Umfang von 20 cm. Die Länge ist um 2 cm größer als die Breite.
a) Stelle ein Gleichungssystem auf.
b) Löse das System.

Löse das System: $x + y + z = 6$, $x - y = 1$ und $y - z = 1$.

a) Durch Einsetzen von $y$ in die zweite Gleichung ergibt sich $3x + (2x + 1) = 6$, also $5x = 5$ und $x = 1$. Daraus folgt $y = 2(1) + 1 = 3$. Lösungsmenge: $L = {(1|3)}$.

b) Durch Einsetzen von $x$ in die zweite Gleichung ergibt sich $2(3y - 2) + y = 10$, also $6y - 4 + y = 10$, somit $7y = 14$ und $y = 2$. Daraus folgt $x = 3(2) - 2 = 4$. Lösungsmenge: $L = {(4|2)}$.

Addiert man beide Gleichungen, erhält man $(2x + 4x) + (3y - 3y) = 8 + 4$, also $6x = 12$, was $x = 2$ ergibt. Einsetzen in die erste Gleichung liefert $2(2) + 3y = 8$, also $3y = 4$ und $y = \frac{4}{3}$. Lösungsmenge: $L = {(2|\frac{4}{3})}$.

a) Multipliziere die zweite Gleichung mit 2: $6x - 2y = 10$. Addiere zur ersten: $11x = 26$, also $x = \frac{26}{11}$. Einsetzen ergibt $y = 3(\frac{26}{11}) - 5 = \frac{78}{11} - \frac{55}{11} = \frac{23}{11}$. $L = {(\frac{26}{11}|\frac{23}{11})}$.

b) Multipliziere die zweite mit -2: $-4x - 6y = -24$. Addiere zur ersten: $-11y = -22$, also $y = 2$. Einsetzen in $2x + 3(2) = 12$ ergibt $2x = 6$, also $x = 3$. $L = {(3|2)}$.

Stelle die zweite Gleichung nach $x$ um: $x = 3 - 2y$. Setze dies in die erste ein: $3(3 - 2y) - 4y = -1$, also $9 - 6y - 4y = -1$, was $-10y = -10$ und $y = 1$ ergibt. Mit $x = 3 - 2(1)$ folgt $x = 1$. Lösungsmenge: $L = {(1|1)}$.

a) Addition ergibt $2x = 12$, also $x = 6$ und $y = 4$. $L = {(6|4)}$.

b) Multipliziere die zweite mit 2: $6x - 2y = 10$. Addition mit der ersten: $8x = 30$, also $x = 3,75$. Einsetzen ergibt $2(3,75) + 2y = 20$, also $2y = 12,5$, $y = 6,25$. $L = {(3,75|6,25)}$.

c) Multipliziere die erste mit 2: $x + 2y = 10$. Addition mit der zweiten: $2x = 0$, also $x = 0$. Einsetzen in $x - 2y = -10$ ergibt $-2y = -10$, $y = 5$. $L = {(0|5)}$.

Setze $3x - 5 = -x + 3$. Dann ist $4x = 8$, also $x = 2$. Einsetzen in $y = -2 + 3$ ergibt $y = 1$. Lösungsmenge: $L = {(2|1)}$.

a) Die zweite Gleichung ist das Zweifache der ersten. Es gibt unendlich viele Lösungen. Lösungsmenge: $L = {(x|y) | y = 5 - 2x}$.

b) Die zweite Gleichung ist $2(x - y) = 5$, also $x - y = 2,5$. Dies widerspricht der ersten Gleichung $x - y = 3$. Es gibt keine Lösung. $L = \emptyset$.

Multipliziere die zweite Gleichung mit 3: $1,5x - 0,3y = 2,4$. Addiere zur ersten: $1,7x = 3,5$, also $x = \frac{35}{17}$. Einsetzen in $0,5x - 0,1y = 0,8$ ergibt $0,5(\frac{35}{17}) - 0,8 = 0,1y$, also $y = 10(\frac{17,5}{17} - \frac{13,6}{17}) = \frac{39}{17}$. $L = {(\frac{35}{17}|\frac{39}{17})}$.

a) $2(l +\\ b) = 20$ und $l = b + 2$.

b) Einsetzen von $l$ in die erste Gleichung: $2(b + 2 +\\ b) = 20$, also $2(2b + 2) = 20$, $4b + 4 = 20$, $4b = 16$, $b = 4$. Dann ist $l = 4 + 2 = 6$. Das Rechteck ist 6 cm lang und 4 cm breit.

Aus $x - y = 1$ folgt $x = y + 1$. Aus $y - z = 1$ folgt $z = y - 1$. Einsetzen in die erste Gleichung: $(y + 1) + y + (y - 1) = 6$, also $3y = 6$, $y = 2$. Dann ist $x = 2 + 1 = 3$ und $z = 2 - 1 = 1$. Lösungsmenge: $L = {(3|2|1)}$.