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Ableitungsregeln anwenden (Produkt, Quotient, Kette) - Arbeitsblatt für Mathe (Klasse 11)
Ableitungsregeln anwenden (Produkt, Quotient, Kette)
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x) = x^2 \cdot \sin(x)$ unter Verwendung der Produktregel.
Aufgabe 2: (4 Punkte)
Leite die folgenden Funktionen ab:
a) $f(x) = e^x \cdot (x^2 + 1)$
b) $g(x) = x^3 \cdot \ln(x)$
Aufgabe 3: (2 Punkte)
Wende die Quotientenregel an, um die Ableitung von $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ zu bestimmen.
Aufgabe 4: (4 Punkte)
Bilde die Ableitungen der Funktionen:
a) $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$
b) $g(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
Aufgabe 5: (2 Punkte)
Bestimme die Ableitung von $f(x) = (3x^2 - 5)^4$ mithilfe der Kettenregel.
Aufgabe 6: (4 Punkte)
Leite die folgenden Funktionen unter Anwendung der Kettenregel ab:
a) $f(x) = e^{2x^2 + 3}$
b) $g(x) = \sin(4x - \pi)$
Aufgabe 7: (2 Punkte)
Berechne die Ableitung von $f(x) = x^2 \cdot e^{3x}$ unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel.
Aufgabe 8: (4 Punkte)
Leite die Funktionen ab:
a) $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$
b) $g(x) = (2x + 1)^3 \cdot \cos(x)$
Aufgabe 9: (2 Punkte)
Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ an der Stelle $x = 1$.
Aufgabe 10: (4 Punkte)
Untersuche die Funktion $f(x) = \frac{x^2}{e^x}$ hinsichtlich ihrer Ableitung.
a) Bestimme $f'(x)$.
b) Bestimme $f''(x)$.
Musterlösung
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Mit der Produktregel $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$ ergibt sich für $u = x^2$ und $v = \sin(x)$ die Ableitung $f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)$.
Aufgabe 2: (4 Punkte)
a) $f'(x) = e^x \cdot (x^2 + 1) + e^x \cdot 2x = e^x \cdot (x^2 + 2x + 1) = e^x \cdot (x+1)^2$
b) $g'(x) = 3x^2 \cdot \ln(x) + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \cdot \ln(x) + x^2 = x^2 \cdot (3 \ln(x) + 1)$
Aufgabe 3: (2 Punkte)
Mit der Quotientenregel $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ ergibt sich für $u = 2x$ und $v = x^2 + 1$ die Ableitung $f'(x) = \frac{2 \cdot (x^2 + 1) - 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}$.
Aufgabe 4: (4 Punkte)
a) $f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$
b) $g'(x) = \frac{2x \cdot (x^2 + 1) - (x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$
Aufgabe 5: (2 Punkte)
Mit der Kettenregel $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$ und $u(z) = z^4$ sowie $v(x) = 3x^2 - 5$ folgt: $f'(x) = 4 \cdot (3x^2 - 5)^3 \cdot 6x = 24x \cdot (3x^2 - 5)^3$.
Aufgabe 6: (4 Punkte)
a) $f'(x) = e^{2x^2 + 3} \cdot 4x$
b) $g'(x) = \cos(4x - \pi) \cdot 4 = 4 \cdot \cos(4x - \pi)$
Aufgabe 7: (2 Punkte)
Es gilt $f'(x) = (x^2)' \cdot e^{3x} + x^2 \cdot (e^{3x})'$. Mit der Kettenregel folgt $(e^{3x})' = e^{3x} \cdot 3$. Somit ergibt sich $f'(x) = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = e^{3x} \cdot (3x^2 + 2x)$.
Aufgabe 8: (4 Punkte)
a) $f'(x) = \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x \cdot e^x (x - 2)}{x^4} = \frac{e^x(x-2)}{x^3}$
b) $g'(x) = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 \cdot \cos(x) + (2x + 1)^3 \cdot (-\sin(x)) = (2x+1)^2 \cdot (6 \cos(x) - (2x+1) \sin(x))$
Aufgabe 9: (2 Punkte)
Die Ableitung lautet $f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$. An der Stelle $x = 1$ ergibt sich die Steigung $f'(1) = \frac{2(1)}{1^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1$.
Aufgabe 10: (4 Punkte)
a) $f'(x) = \frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(2x - x^2)}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x}$
b) $f''(x) = \frac{(2 - 2x) \cdot e^x - (2x - x^2) \cdot e^x}{e^{2x}} = \frac{e^x(2 - 2x - 2x + x^2)}{e^{2x}} = \frac{x^2 - 4x + 2}{e^x}$
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Die Aufgaben entsprechen in der Schwierigkeit dem klassenüblichen Niveau und eignen sich sowohl zum Üben für Klassenarbeiten als auch für den Einsatz im Unterricht. Die Lösungen kannst du dir anzeigen lassen oder das Arbeitsblatt als PDF oder auf Papier ausdrucken.
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