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Extrempunkte berechnen - Arbeitsblatt für Mathe (Klasse 11)
Extrempunkte berechnen
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Bestimmen Sie die Koordinaten des Extrempunktes.
Aufgabe 2: (4 Punkte)
Gegeben ist $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.
a) Berechnen Sie die erste Ableitung.
b) Bestimmen Sie den Extrempunkt.
Aufgabe 3: (2 Punkte)
Untersuchen Sie die Funktion $f(x) = x^3 - 3x$ auf lokale Extremstellen.
Aufgabe 4: (6 Punkte)
Gegeben ist $f(x) = x^4 - 2x^2$.
a) Bestimmen Sie die Ableitung $f'(x)$.
b) Suchen Sie alle Nullstellen von $f'(x)$.
c) Überprüfen Sie die Art der Extremstellen.
Aufgabe 5: (2 Punkte)
Bestimmen Sie den Hochpunkt der Funktion $f(x) = -x^3 + 3x^2$.
Aufgabe 6: (6 Punkte)
Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x$.
a) Berechnen Sie $f'(x)$.
b) Bestimmen Sie die x-Werte der Extremstellen.
c) Geben Sie die y-Werte der Extrempunkte an.
Aufgabe 7: (2 Punkte)
Hat die Funktion $f(x) = x^2 + 5$ einen Extrempunkt?
Aufgabe 8: (4 Punkte)
Gegeben ist $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$.
a) Finden Sie die Nullstellen von $f'(x)$.
b) Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte.
Aufgabe 9: (2 Punkte)
Untersuchen Sie $f(x) = -x^4 + 4x^2$ auf Extremwerte.
Aufgabe 10: (8 Punkte)
Gegeben ist $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.
a) Bilden Sie $f'(x)$.
b) Bestimmen Sie die Nullstellen von $f'(x)$.
c) Prüfen Sie auf Extremstellen.
d) Interpretieren Sie das Ergebnis.
Musterlösung
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Die erste Ableitung ist $f'(x) = 2x - 4$. Nullsetzen ergibt $2x - 4 = 0$, also $x = 2$. Da $f''(x) = 2 > 0$ ist, liegt ein Tiefpunkt vor. Der y-Wert ist $f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$. Der Tiefpunkt ist $T(2|-1)$.
Aufgabe 2: (4 Punkte)
a) $f'(x) = -2x + 6$.
b) $-2x + 6 = 0$ führt zu $x = 3$. $f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$. Da $f''(x) = -2 < 0$, ist $H(3|4)$ ein Hochpunkt.
Aufgabe 3: (2 Punkte)
Erste Ableitung $f'(x) = 3x^2 - 3$. Nullstellen bei $x = 1$ und $x = -1$. Zweite Ableitung $f''(x) = 6x$. Für $x = 1$ ist $f''(1) = 6 > 0$ (Tiefpunkt $T(1|-2)$). Für $x = -1$ ist $f''(-1) = -6 < 0$ (Hochpunkt $H(-1|2)$).
Aufgabe 4: (6 Punkte)
a) $f'(x) = 4x^3 - 4x$.
b) $4x(x^2 - 1) = 0$ ergibt $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$.
c) $f''(x) = 12x^2 - 4$. $f''(0) = -4$ (Hochpunkt $(0|0)$). $f''(1) = 8$ (Tiefpunkt $(1|-1)$). $f''(-1) = 8$ (Tiefpunkt $(-1|-1)$).
Aufgabe 5: (2 Punkte)
$f'(x) = -3x^2 + 6x$. Nullstellen $x=0$ und $x=2$. $f''(x) = -6x + 6$. $f''(0) = 6 > 0$ (Tiefpunkt). $f''(2) = -6 < 0$ (Hochpunkt). Der Hochpunkt ist $H(2|4)$.
Aufgabe 6: (6 Punkte)
a) $f'(x) = x^2 - 2x - 3$.
b) $(x-3)(x+1) = 0$, also $x=3$ und $x=-1$.
c) $f(3) = 9 - 9 - 9 = -9$ und $f(-1) = -1/3 - 1 + 3 = 5/3$.
Aufgabe 7: (2 Punkte)
$f'(x) = 2x$. Nullstelle bei $x = 0$. $f(0) = 5$. Da $f''(x) = 2 > 0$, liegt ein Tiefpunkt bei $T(0|5)$ vor.
Aufgabe 8: (4 Punkte)
a) $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$. Nullstellen bei $x=1$ und $x=3$.
b) $f(1) = 1 - 6 + 9 = 4$. $f(3) = 27 - 54 + 27 = 0$. Hochpunkt $H(1|4)$, Tiefpunkt $T(3|0)$.
Aufgabe 9: (2 Punkte)
$f'(x) = -4x^3 + 8x$. Nullstellen $x=0, x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2}$. $f''(x) = -12x^2 + 8$. $f''(0) = 8 > 0$ (Tiefpunkt $T(0|0)$). $f''(\pm\sqrt{2}) = -16 < 0$ (Hochpunkte $H_1(\sqrt{2}|4), H_2(-\sqrt{2}|4)$).
Aufgabe 10: (8 Punkte)
a) $f'(x) = 3x^2 - 6x + 3$.
b) $3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2 = 0$ führt zu $x=1$.
c) $f''(x) = 6x - 6$. $f''(1) = 0$. Da $f'''(1) = 6 \eq 0$, liegt keine Extremstelle, sondern ein Sattelpunkt vor.
d) Die Funktion hat keinen Extrempunkt.
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Die Aufgaben entsprechen in der Schwierigkeit dem klassenüblichen Niveau und eignen sich sowohl zum Üben für Klassenarbeiten als auch für den Einsatz im Unterricht. Die Lösungen kannst du dir anzeigen lassen oder das Arbeitsblatt als PDF oder auf Papier ausdrucken.
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