Flächen unter dem Graphen berechnen - Arbeitsblatt für Mathe (Klasse 12)

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Aufgabe 1: (2 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral der Funktion $f(x) = 2x$ im Intervall $[0, 3]$.

$\int{0}^{3} 2x \, dx = [x^2]{0}^{3} = 3^2 - 0^2 = 9$.

Aufgabe 2: (4 Punkte)

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - 4$.
a) Bestimme die Nullstellen der Funktion.
b) Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall $[-2, 2]$.

a) $x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = -2, x2 = 2$.
b) Da der Graph unterhalb der x-Achse verläuft, berechnet man das Integral als $-\int{-2}^{2} (x^2 - 4) \, dx = -[\frac{1}{3}x^3 - 4x]_{-2}^{2} = -[(\frac{8}{3} - 8) - (-\frac{8}{3} + 8)] = -[-\frac{16}{3} - \frac{16}{3}] = \frac{32}{3} \approx 10,67$.

Aufgabe 3: (2 Punkte)

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f(x) = e^x$, der x-Achse sowie den Geraden $x=0$ und $x=2$ eingeschlossen wird.

$\int{0}^{2} e^x \, dx = [e^x]{0}^{2} = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6,389$.

Aufgabe 4: (6 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = \sin(x)$.
a) Skizziere den Graphen im Intervall $[0, 2\pi]$.
b) Berechne das Integral im Intervall $[0, \pi]$.
c) Berechne das Integral im Intervall $[0, 2\pi]$.

a) Der Graph ist eine Sinuswelle, die bei $0$ startet, bei $\pi/2$ das Maximum $1$ erreicht und bei $\pi$ die x-Achse schneidet.
b) $\int{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]{0}^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2$.
c) $\int{0}^{2\pi} \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]{0}^{2\pi} = -1 - (-1) = 0$.

Aufgabe 5: (2 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen von $f(x) = x^2$ und $g(x) = x$.

Schnittpunkte: $x^2 = x \implies x(x-1) = 0 \implies x_1=0, x2=1$. Fläche: $\int{0}^{1} (x - x^2) \, dx = [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Aufgabe 6: (1 Punkte)

Berechne das Integral $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$.

$\int{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = [\ln|x|]{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

Aufgabe 7: (4 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$.
a) Finde die Nullstellen.
b) Berechne den Flächeninhalt zwischen $f(x)$ und der x-Achse im Bereich der Nullstellen.

a) $x(x^2 - 3x + 2) = x(x-1)(x-2) = 0 \implies x_1=0, x_2=1, x3=2$.
b) Zwei Flächenstücke: $\int{0}^{1} (x^3-3x^2+2x) dx = [\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2]0^1 = 1/4$. $\int{1}^{2} (x^3-3x^2+2x) dx = [\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2]_1^2 = (4-8+4) - (1/4-1+1) = -1/4$. Gesamtfläche: $|1/4| + |-1/4| = 0,5$.

Aufgabe 8: (2 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche unter $f(x) = \sqrt{x}$ zwischen $x=0$ und $x=4$.

$\int{0}^{4} x^{1/2} \, dx = [\frac{2}{3}x^{3/2}]{0}^{4} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} \approx 5,33$.

Aufgabe 9: (4 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = 4 - x^2$.
a) Bestimme den Schnittpunkt mit der y-Achse.
b) Berechne die Fläche, die durch die x-Achse und den Graphen begrenzt wird.

a) $f(0) = 4 - 0^2 = 4$. Schnittpunkt $(0, 4)$.
b) Nullstellen bei $x = \pm 2$. Fläche: $\int{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = [4x - \frac{1}{3}x^3]{-2}^{2} = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16/3 + 16/3 = 32/3 \approx 10,67$.

Aufgabe 10: (1 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral $\int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx$.

$\int{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx = [\sin(x)]{0}^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

Aufgabe 1: (2 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral der Funktion $f(x) = 2x$ im Intervall $[0, 3]$.

Aufgabe 2: (4 Punkte)

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - 4$.
a) Bestimme die Nullstellen der Funktion.
b) Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall $[-2, 2]$.

Aufgabe 3: (2 Punkte)

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f(x) = e^x$, der x-Achse sowie den Geraden $x=0$ und $x=2$ eingeschlossen wird.

Aufgabe 4: (6 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = \sin(x)$.
a) Skizziere den Graphen im Intervall $[0, 2\pi]$.
b) Berechne das Integral im Intervall $[0, \pi]$.
c) Berechne das Integral im Intervall $[0, 2\pi]$.

Aufgabe 5: (2 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen von $f(x) = x^2$ und $g(x) = x$.

Aufgabe 6: (1 Punkte)

Berechne das Integral $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$.

Aufgabe 7: (4 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$.
a) Finde die Nullstellen.
b) Berechne den Flächeninhalt zwischen $f(x)$ und der x-Achse im Bereich der Nullstellen.

Aufgabe 8: (2 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche unter $f(x) = \sqrt{x}$ zwischen $x=0$ und $x=4$.

Aufgabe 9: (4 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = 4 - x^2$.
a) Bestimme den Schnittpunkt mit der y-Achse.
b) Berechne die Fläche, die durch die x-Achse und den Graphen begrenzt wird.

Aufgabe 10: (1 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral $\int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx$.


Flächen unter dem Graphen berechnen

Aufgabe 1: (2 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral der Funktion $f(x) = 2x$ im Intervall $[0, 3]$.

Aufgabe 2: (4 Punkte)

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - 4$.
a) Bestimme die Nullstellen der Funktion.
b) Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall $[-2, 2]$.

Aufgabe 3: (2 Punkte)

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f(x) = e^x$, der x-Achse sowie den Geraden $x=0$ und $x=2$ eingeschlossen wird.

Aufgabe 4: (6 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = \sin(x)$.
a) Skizziere den Graphen im Intervall $[0, 2\pi]$.
b) Berechne das Integral im Intervall $[0, \pi]$.
c) Berechne das Integral im Intervall $[0, 2\pi]$.

Aufgabe 5: (2 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen von $f(x) = x^2$ und $g(x) = x$.

Aufgabe 6: (1 Punkte)

Berechne das Integral $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$.

Aufgabe 7: (4 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$.
a) Finde die Nullstellen.
b) Berechne den Flächeninhalt zwischen $f(x)$ und der x-Achse im Bereich der Nullstellen.

Aufgabe 8: (2 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche unter $f(x) = \sqrt{x}$ zwischen $x=0$ und $x=4$.

Aufgabe 9: (4 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = 4 - x^2$.
a) Bestimme den Schnittpunkt mit der y-Achse.
b) Berechne die Fläche, die durch die x-Achse und den Graphen begrenzt wird.

Aufgabe 10: (1 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral $\int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx$.


Musterlösung


Aufgabe 1: (2 Punkte)

$\int{0}^{3} 2x \, dx = [x^2]{0}^{3} = 3^2 - 0^2 = 9$.

Aufgabe 2: (4 Punkte)

a) $x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = -2, x2 = 2$.
b) Da der Graph unterhalb der x-Achse verläuft, berechnet man das Integral als $-\int{-2}^{2} (x^2 - 4) \, dx = -[\frac{1}{3}x^3 - 4x]_{-2}^{2} = -[(\frac{8}{3} - 8) - (-\frac{8}{3} + 8)] = -[-\frac{16}{3} - \frac{16}{3}] = \frac{32}{3} \approx 10,67$.

Aufgabe 3: (2 Punkte)

$\int{0}^{2} e^x \, dx = [e^x]{0}^{2} = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6,389$.

Aufgabe 4: (6 Punkte)

a) Der Graph ist eine Sinuswelle, die bei $0$ startet, bei $\pi/2$ das Maximum $1$ erreicht und bei $\pi$ die x-Achse schneidet.
b) $\int{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]{0}^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2$.
c) $\int{0}^{2\pi} \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]{0}^{2\pi} = -1 - (-1) = 0$.

Aufgabe 5: (2 Punkte)

Schnittpunkte: $x^2 = x \implies x(x-1) = 0 \implies x_1=0, x2=1$. Fläche: $\int{0}^{1} (x - x^2) \, dx = [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Aufgabe 6: (1 Punkte)

$\int{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = [\ln|x|]{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

Aufgabe 7: (4 Punkte)

a) $x(x^2 - 3x + 2) = x(x-1)(x-2) = 0 \implies x_1=0, x_2=1, x3=2$.
b) Zwei Flächenstücke: $\int{0}^{1} (x^3-3x^2+2x) dx = [\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2]0^1 = 1/4$. $\int{1}^{2} (x^3-3x^2+2x) dx = [\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2]_1^2 = (4-8+4) - (1/4-1+1) = -1/4$. Gesamtfläche: $|1/4| + |-1/4| = 0,5$.

Aufgabe 8: (2 Punkte)

$\int{0}^{4} x^{1/2} \, dx = [\frac{2}{3}x^{3/2}]{0}^{4} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} \approx 5,33$.

Aufgabe 9: (4 Punkte)

a) $f(0) = 4 - 0^2 = 4$. Schnittpunkt $(0, 4)$.
b) Nullstellen bei $x = \pm 2$. Fläche: $\int{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = [4x - \frac{1}{3}x^3]{-2}^{2} = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16/3 + 16/3 = 32/3 \approx 10,67$.

Aufgabe 10: (1 Punkte)

$\int{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx = [\sin(x)]{0}^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

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Die Schüler üben hier, Flächeninhalte unter Kurven und zwischen Graphen mithilfe von Integralen zu berechnen. Sie bestimmen Nullstellen, skizzieren Funktionsverläufe und setzen Integrationsgrenzen richtig ein, um bestimmte Integrale zu lösen. So lernen sie, Zusammenhänge zwischen Funktionen, deren Nullstellen und den zugehörigen Flächeninhalten zu verstehen.

Die Aufgaben entsprechen in der Schwierigkeit dem klassenüblichen Niveau und eignen sich sowohl zum Üben für Klassenarbeiten als auch für den Einsatz im Unterricht. Die Lösungen kannst du dir anzeigen lassen oder das Arbeitsblatt als PDF oder auf Papier ausdrucken.

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