Integralrechnung Grundlagen - Erklärung für Mathe (Klasse 12)

Grundkonzept der Integralrechnung

Die Integralrechnung ist das Gegenstück zur Differenzialrechnung. Während man beim Differenzieren die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt bestimmt, geht es beim Integrieren darum, eine Fläche zu berechnen, die unter einer Kurve liegt.

Man kann sich das Integral als einen Prozess des "Aufsummierens" vorstellen. Wenn man eine Fläche unter einer Funktion $f(x)$ zwischen zwei Punkten $a$ und $b$ berechnen möchte, zerlegt man diese Fläche gedanklich in unendlich viele, unendlich schmale Rechtecke. Die Summe der Flächeninhalte dieser Rechtecke ergibt den Wert des Integrals.

Das bestimmte Integral

Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion $f(x)$ in den Grenzen von $a$ bis $b$ schreibt man so:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

Dabei ist:

• $\int$ das Integralzeichen (ein langgezogenes "S" für Summe).
• $a$ die untere Grenze.
• $b$ die obere Grenze.
• $f(x)$ der Integrand (die Funktion, deren Fläche wir suchen).
• $dx$ das Differenzial, das angibt, nach welcher Variable integriert wird.

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Um ein Integral praktisch zu berechnen, nutzt man die Stammfunktion $F(x)$. Eine Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung wieder die ursprüngliche Funktion ergibt, also $F'(x) = f(x)$.

Der Hauptsatz besagt: $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

Das bedeutet: Du bestimmst die Stammfunktion, setzt die obere Grenze ein, setzt die untere Grenze ein und ziehst das Ergebnis der unteren Grenze von dem der oberen Grenze ab.

Ein konkretes Beispiel

Berechne die Fläche unter der Funktion $f(x) = 2x$ im Intervall von $1$ bis $3$.

1. Stammfunktion bestimmen: Die Regel für die Integration von Potenzen lautet: $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}$. Für $f(x) = 2x^1$ ergibt sich die Stammfunktion: $F(x) = 2 \cdot \frac{1}{1+1} x^{1+1} = 2 \cdot \frac{1}{2} x^2 = x^2$.

2. Grenzen einsetzen: $$\int_{1}^{3} 2x \, dx = x^3 - x^1$$

3. Berechnung: $F(3) = 3^2 = 9$ $F(1) = 1^2 = 1$ $F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8$

Die Fläche unter der Geraden $f(x) = 2x$ zwischen $x=1$ und $x=3$ beträgt also genau $8$ Flächeneinheiten.