Mit Google anmelden
Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen - Arbeitsblatt für Mathe (Klasse 12)
Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^3 - 4x$.
Aufgabe 2: (4 Punkte)
a) Bestimme die erste Ableitung der Funktion $f(x) = 2x^4 - 6x^2 + 5$.
b) Berechne die Steigung der Tangente an der Stelle $x = 1$.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
a) Bestimme die Extrempunkte der Funktion $f(x) = x^3 - 3x$.
b) Klassifiziere die Extrempunkte mithilfe der zweiten Ableitung.
c) Gib die Koordinaten der Extrempunkte an.
Aufgabe 4: (2 Punkte)
Bestimme das Verhalten der Funktion $f(x) = -2x^4 + 5x^2 - 1$ für $x \to \infty$ und $x \to -\infty$.
Aufgabe 5: (4 Punkte)
a) Bestimme die Wendestelle der Funktion $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$.
b) Berechne den zugehörigen Wendepunkt.
Aufgabe 6: (2 Punkte)
Untersuche die Funktion $f(x) = x^4 - 2x^2$ auf Symmetrie.
Aufgabe 7: (4 Punkte)
a) Berechne den y-Achsenabschnitt von $f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3$.
b) Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt $P(0|3)$.
Aufgabe 8: (6 Punkte)
a) Bestimme die Nullstellen von $f(x) = x^2(x-3)$.
b) Bestimme das Vorzeichen der Funktion im Intervall $(0, 3)$.
c) Was bedeutet dies für den Graphen?
Aufgabe 9: (8 Punkte)
Führe eine vollständige Kurvendiskussion für $f(x) = x^2 - 4$ durch:
a) Nullstellen,
b) Extrempunkte,
c) Symmetrie,
d) y-Achsenabschnitt.
Aufgabe 10: (2 Punkte)
Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, die durch den Ursprung verläuft und bei $x=2$ einen Extrempunkt hat.
Musterlösung
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Man setzt $f(x) = 0$ und klammert $x$ aus: $x(x^2 - 4) = 0$. Die Nullstellen sind $x_1 = 0$, $x_2 = 2$ und $x_3 = -2$.
Aufgabe 2: (4 Punkte)
a) $f'(x) = 8x^3 - 12x$.
b) $f'(1) = 8(1)^3 - 12(1) = 8 - 12 = -4$.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
a) $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
b) $f''(x) = 6x$. $f''(1) = 6 > 0$ (Minimum), $f''(-1) = -6 < 0$ (Maximum).
c) $f(1) = -2$, $f(-1) = 2$. Die Punkte sind $T(1|-2)$ und $H(-1|2)$.
Aufgabe 4: (2 Punkte)
Da der Grad gerade ist und der Leitkoeffizient negativ ist, gilt: $f(x) \to -\infty$ für $x \to \infty$ und $f(x) \to -\infty$ für $x \to -\infty$.
Aufgabe 5: (4 Punkte)
a) $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$, $f''(x) = 6x - 12$. $f''(x) = 0 \implies x = 2$.
b) $f(2) = 2^3 - 6(2^2) + 9(2) = 8 - 24 + 18 = 2$. Der Wendepunkt ist $W(2|2)$.
Aufgabe 6: (2 Punkte)
Es gilt $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = f(x)$. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Aufgabe 7: (4 Punkte)
a) $f(0) = 3$. Der Schnittpunkt ist $S_y(0|3)$.
b) $f'(0) = 2(3)(0)^2 - 8(0) = 0$. Die Tangente hat die Gleichung $y = 3$.
Aufgabe 8: (6 Punkte)
a) Nullstellen sind $x_1 = 0$ (doppelt) und $x_2 = 3$.
b) Testwert $x=1$: $f(1) = 1^2(1-3) = -2 < 0$.
c) Der Graph verläuft in diesem Intervall unterhalb der x-Achse.
Aufgabe 9: (8 Punkte)
a) $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
b) $f'(x) = 2x = 0 \implies x = 0$, $f(0) = -4$ (Tiefpunkt).
c) $f(-x) = f(x)$, achsensymmetrisch.
d) $f(0) = -4$.
Aufgabe 10: (2 Punkte)
Es gibt unendlich viele Lösungen. Ein Beispiel ist $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. $f(0)=0 \implies d=0$. $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$. $f'(2) = 12a + 4b + c = 0$. Wählt man $a=1, b=-3$, so folgt $12-12+c=0 \implies c=0$. Also $f(x) = x^3 - 3x^2$.
Weitere Arbeitsblätter für dich
Mathe · Ähnliches Niveau
Andere Fächer · Gleiche Klasse
Eigene Arbeitsblätter
Mit diesem Arbeitsblatt üben Schüler, wie sie Nullstellen, Steigungen und Extrempunkte von Funktionen berechnen und diese Punkte interpretieren können. Außerdem lernen sie, das Verhalten von Funktionen am Rand zu bestimmen, Symmetrie zu erkennen und Wendestellen zu finden. Durch diese Aufgaben verbessern sie ihr Verständnis für wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen und trainieren das eigenständige Lösen von mathematischen Fragestellungen.
Die Aufgaben entsprechen in der Schwierigkeit dem klassenüblichen Niveau und eignen sich sowohl zum Üben für Klassenarbeiten als auch für den Einsatz im Unterricht. Die Lösungen kannst du dir anzeigen lassen oder das Arbeitsblatt als PDF oder auf Papier ausdrucken.
Hol dir AI Teacher als App!
So hast du AI Teacher immer griffbereit wenn du ihn brauchst.
