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Stammfunktionen bestimmen - Arbeitsblatt für Mathe (Klasse 12)
Stammfunktionen bestimmen
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Bestimme die allgemeine Stammfunktion $F(x)$ für die folgenden Funktionen:
a) $f(x) = 3x^2$
b) $f(x) = 5x^4 - 2x + 1$
Aufgabe 2: (2 Punkte)
Gesucht ist die Stammfunktion zur Funktion $f(x) = \frac{1}{x^2} + \sqrt{x}$ für $x > 0$.
Aufgabe 3: (3 Punkte)
Bestimme die Stammfunktionen für die Exponentialfunktionen:
a) $f(x) = e^x$
b) $f(x) = 4e^{2x}$
c) $f(x) = e^{-x} + 3$
Aufgabe 4: (2 Punkte)
Bestimme die Stammfunktion für die trigonometrischen Funktionen:
a) $f(x) = \sin(x)$
b) $f(x) = \cos(x) - 2\sin(x)$
Aufgabe 5: (6 Punkte)
Bestimme die Stammfunktion unter Verwendung der Kettenregel (lineare Substitution):
a) $f(x) = (2x+1)^3$
b) $f(x) = \cos(3x)$
c) $f(x) = e^{5x-2}$
Aufgabe 6: (2 Punkte)
Finde die spezielle Stammfunktion $F(x)$ von $f(x) = 6x^2 - 4x$, die durch den Punkt $P(1|5)$ verläuft.
Aufgabe 7: (2 Punkte)
Berechne die Stammfunktion von $f(x) = x(x^2+1)^2$. Tipp: Multipliziere den Term vorher aus.
Aufgabe 8: (6 Punkte)
Bestimme die Stammfunktionen für:
a) $f(x) = 5^x$
b) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$
c) $f(x) = x^{-3} + x^{-1}$
Aufgabe 9: (2 Punkte)
Gegeben ist $f(x) = \frac{4}{2x-1}$. Bestimme die Stammfunktion $F(x)$.
Musterlösung
Aufgabe 1: (2 Punkte)
a) $F(x) = x^3 + C$
b) $F(x) = x^5 - x^2 + x + C$
Aufgabe 2: (2 Punkte)
$F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{x} + \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$
Aufgabe 3: (3 Punkte)
a) $F(x) = e^x + C$
b) $F(x) = 2e^{2x} + C$
c) $F(x) = -e^{-x} + 3x + C$
Aufgabe 4: (2 Punkte)
a) $F(x) = -\cos(x) + C$
b) $F(x) = \sin(x) + 2\cos(x) + C$
Aufgabe 5: (6 Punkte)
a) $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}(2x+1)^4 + C = \frac{1}{8}(2x+1)^4 + C$
b) $F(x) = \frac{1}{3}\sin(3x) + C$
c) $F(x) = \frac{1}{5}e^{5x-2} + C$
Aufgabe 6: (2 Punkte)
Die allgemeine Stammfunktion ist $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + C$. Einsetzen von $P(1|5)$ ergibt $5 = 2(1)^3 - 2(1)^2 + C$, also $5 = 0 + C$, somit $C = 5$. Die gesuchte Funktion ist $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 5$.
Aufgabe 7: (2 Punkte)
$f(x) = x(x^4 + 2x^2 + 1) = x^5 + 2x^3 + x$. Die Stammfunktion ist $F(x) = \frac{1}{6}x^6 + \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C$.
Aufgabe 8: (6 Punkte)
a) $F(x) = \frac{5^x}{\ln(5)} + C$
b) $F(x) = 2\sqrt{x} + C$
c) $F(x) = -\frac{1}{2}x^{-2} + \ln(|x|) + C$
Aufgabe 9: (2 Punkte)
$F(x) = 4 \cdot \frac{1}{2} \ln(|2x-1|) + C = 2 \ln(|2x-1|) + C$
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