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Wendepunkte berechnen - Arbeitsblatt für Mathe (Klasse 12)
Wendepunkte berechnen
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts.
Aufgabe 2: (4 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3$.
a) Bestimmen Sie die zweite Ableitung $f''(x)$.
b) Berechnen Sie die x-Koordinate des Wendepunkts.
Aufgabe 3: (2 Punkte)
Untersuchen Sie die Funktion $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$ auf Wendepunkte.
Aufgabe 4: (6 Punkte)
Gegeben ist $f(x) = e^x \cdot (x-2)$.
a) Bestimmen Sie $f'(x)$ unter Verwendung der Produktregel.
b) Berechnen Sie die zweite Ableitung $f''(x)$.
c) Bestimmen Sie die Wendestelle.
Aufgabe 5: (2 Punkte)
Bestimmen Sie den Wendepunkt der Funktion $f(x) = \sin(x)$ im Intervall $[0, 2\pi]$.
Aufgabe 6: (4 Punkte)
Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x$.
a) Berechnen Sie die Wendestelle.
b) Bestimmen Sie die Steigung der Wendetangente.
Aufgabe 7: (2 Punkte)
Prüfen Sie, ob die Funktion $f(x) = x^3 + 3x + 5$ einen Wendepunkt besitzt.
Aufgabe 8: (6 Punkte)
Gegeben ist $f(x) = x^4 - 4x^3$.
a) Berechnen Sie die zweite Ableitung.
b) Bestimmen Sie die Wendepunkte.
c) Skizzieren Sie kurz das Krümmungsverhalten.
Aufgabe 9: (2 Punkte)
Bestimmen Sie die Wendestelle von $f(x) = \ln(x^2+1)$.
Aufgabe 10: (8 Punkte)
Gegeben ist $f(x) = x^5 - 5x^4$.
a) Berechnen Sie $f''(x)$.
b) Berechnen Sie die Wendestellen.
c) Bestimmen Sie die Art der Krümmung bei $x=3$.
d) Gibt es weitere Wendepunkte? Begründen Sie.
Musterlösung
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Die erste Ableitung ist $f'(x) = 3x^2 - 6x$, die zweite Ableitung $f''(x) = 6x - 6$. Setzt man $f''(x) = 0$, erhält man $x = 1$. Da $f'''(1) = 6 \eq 0$, liegt ein Wendepunkt vor. Der y-Wert ist $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$. Der Wendepunkt ist $W(1|0)$.
Aufgabe 2: (4 Punkte)
a) $f'(x) = x^3 - 3x^2$, daher ist $f''(x) = 3x^2 - 6x$.
b) $3x^2 - 6x = 0$ führt zu $3x(x-2) = 0$, also $x_1 = 0$ und $x_2 = 2$. Beide Stellen sind Wendestellen.
Aufgabe 3: (2 Punkte)
$f'(x) = 4x^3 - 12x$, $f''(x) = 12x^2 - 12$. Setze $12x^2 - 12 = 0$, daraus folgt $x^2 = 1$, also $x_1 = 1$ und $x_2 = -1$. Da $f'''(x) = 24x$ an diesen Stellen ungleich 0 ist, liegen Wendepunkte bei $W_1(1|-0)$ und $W_2(-1|0)$ vor.
Aufgabe 4: (6 Punkte)
a) $f'(x) = e^x(x-2) + e^x(1) = e^x(x-1)$.
b) $f''(x) = e^x(x-1) + e^x(1) = e^x(x-1+1) = x e^x$.
c) $x e^x = 0$ hat nur die Lösung $x = 0$, da $e^x$ immer positiv ist.
Aufgabe 5: (2 Punkte)
$f'(x) = \cos(x)$, $f''(x) = -\sin(x)$. Nullstellen von $-\sin(x) = 0$ im Intervall sind $x = 0, x = \pi, x = 2\pi$. Der Wendepunkt liegt bei $(\pi | 0)$.
Aufgabe 6: (4 Punkte)
a) $f'(x) = x^2 - 4x + 3$, $f''(x) = 2x - 4$. $2x - 4 = 0$ ergibt $x = 2$.
b) Die Steigung der Wendetangente ist $f'(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Aufgabe 7: (2 Punkte)
$f'(x) = 3x^2 + 3$, $f''(x) = 6x$. $6x = 0$ ergibt $x = 0$. Da $f'''(0) = 6 \eq 0$, existiert ein Wendepunkt bei $(0|5)$.
Aufgabe 8: (6 Punkte)
a) $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$, $f''(x) = 12x^2 - 24x$.
b) $12x(x-2) = 0$ ergibt $x=0$ und $x=2$. Punkte: $W_1(0|0)$ und $W_2(2|-16)$.
c) Für $x<0$ ist die Kurve linksgekrümmt ($f''>0$), für $02$ wieder linksgekrümmt ($f''>0$).
Aufgabe 9: (2 Punkte)
$f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$. Anwendung der Quotientenregel: $f''(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$. Nullstellen bei $2-2x^2=0$, also $x^2=1$, $x_1=1, x_2=-1$.
Aufgabe 10: (8 Punkte)
a) $f'(x) = 5x^4 - 20x^3$, $f''(x) = 20x^3 - 60x^2$.
b) $20x^2(x-3) = 0$ ergibt $x=0$ und $x=3$.
c) Für $x=3$ ist $f''(3)=0$. Für $x>3$ ist $f''(x)>0$, also linksgekrümmt.
d) Bei $x=0$ liegt kein Wendepunkt vor, da $f''(x)$ dort das Vorzeichen nicht wechselt (Nullstelle mit gerader Vielfachheit).
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