Anwendungen der Integralrechnung (Flächen zwischen Graphen) - Arbeitsblatt für Mathe (Klasse 13)

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Aufgabe 1: (4 Punkte)

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = x^2$ und $g(x) = 4$.
a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt, der von beiden Graphen eingeschlossen wird.

a) $x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x2 = 2$. Schnittpunkte: $(-2|4)$ und $(2|4)$.

b) $A = \int{-2}^{2} (4 - x^2) dx = [4x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{2} = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \approx 10,67$.

Aufgabe 2: (2 Punkte)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vollständig von den Graphen $f(x) = x^3 - x$ und $g(x) = 0$ eingeschlossen wird.

Nullstellen von $f(x)$: $x(x^2-1)=0 \Rightarrow x_1=-1, x_2=0, x_3=1$. Die Fläche besteht aus zwei Teilbereichen: $A1 = \int{-1}^{0} (x^3-x) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2]_{-1}^{0} = 0 - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$. $A2 = \int{0}^{1} (0 - (x^3-x)) dx = [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2]_{0}^{1} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Gesamtfläche $A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0,5$.

Aufgabe 3: (4 Punkte)

Gegeben sind $f(x) = e^x$ und $g(x) = e^{-x}$ sowie die vertikale Begrenzung $x=1$.
a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Funktionen.
b) Berechnen Sie die Fläche, die von $f, g$ und $x=1$ im ersten Quadranten begrenzt wird.

a) $e^x = e^{-x} \Rightarrow x = -x \Rightarrow x=0$. Schnittpunkt $(0|1)$.

b) $A = \int{0}^{1} (e^x - e^{-x}) dx = [e^x + e^{-x}]{0}^{1} = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^0) = e + \frac{1}{e} - 2 \approx 1,086$.

Aufgabe 4: (2 Punkte)

Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen $f(x) = \sin(x)$ und $g(x) = 0$ im Intervall $[0, 2\pi]$.

Nullstellen bei $0, \pi, 2\pi$. $A1 = \int{0}^{\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2$. $A2 = \int{\pi}^{2\pi} (0 - \sin(x)) dx = [\cos(x)]_{\pi}^{2\pi} = 1 - (-1) = 2$. Gesamtfläche $A = 2 + 2 = 4$.

Aufgabe 5: (4 Punkte)

Gegeben sind $f(x) = x^2 - 2x$ und $g(x) = -x^2 + 4$.
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte.
b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt zwischen den Graphen.

a) $x^2-2x = -x^2+4 \Rightarrow 2x^2-2x-4=0 \Rightarrow x^2-x-2=0$. Mit pq-Formel: $x_1 = -1, x2 = 2$.

b) $A = \int{-1}^{2} (-x^2+4 - (x^2-2x)) dx = \int{-1}^{2} (-2x^2+2x+4) dx = [-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x]{-1}^{2} = (-\frac{16}{3} + 4 + 8) - (\frac{2}{3} + 1 - 4) = (\frac{20}{3}) - (-\frac{7}{3}) = 9$.

Aufgabe 6: (2 Punkte)

Berechnen Sie die Fläche, die durch $f(x) = \sqrt{x}$ und $g(x) = x$ eingeschlossen wird.

Schnittpunkte: $\sqrt{x} = x \Rightarrow x = x^2 \Rightarrow x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0$. Schnittpunkte bei $x=0$ und $x=1$. $A = \int{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx = [\frac{2}{3}x^{1,5} - \frac{1}{2}x^2]{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

Aufgabe 7: (1 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{x}$ für $x>0$ und die Geraden $x=1$ und $x=e$. Berechnen Sie den Flächeninhalt unter dem Graphen.

$A = \int{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

Aufgabe 8: (4 Punkte)

Gegeben sind $f(x) = x^3$ und $g(x) = x$.
a) Zeigen Sie, dass drei Schnittpunkte existieren.
b) Berechnen Sie die Gesamtfläche zwischen den Graphen.

a) $x^3 = x \Rightarrow x(x^2-1) = 0 \Rightarrow x_1=-1, x_2=0, x_3=1$.

b) $A1 = \int{-1}^{0} (x^3 - x) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2]_{-1}^{0} = 0 - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$. $A2 = \int{0}^{1} (x - x^3) dx = [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. Gesamtfläche $A = 0,5$.

Aufgabe 9: (2 Punkte)

Berechnen Sie die Fläche, die von $f(x) = 4-x^2$ und $g(x) = x+2$ eingeschlossen wird.

Schnittpunkte: $4-x^2 = x+2 \Rightarrow x^2+x-2=0$. $(x+2)(x-1)=0 \Rightarrow x_1=-2, x2=1$. $A = \int{-2}^{1} (4-x^2 - x - 2) dx = \int{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx = [-\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x]{-2}^{1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (\frac{8}{3} - 2 - 4) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = 4,5$.

Aufgabe 10: (6 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = 2x^2 - 4x + 2$ und $g(x) = 0$.
a) Bestimmen Sie die Nullstellen von $f(x)$.
b) Skizzieren Sie die Lage der Fläche.
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt.

a) $2(x^2-2x+1) = 0 \Rightarrow 2(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x=1$ (doppelte Nullstelle).

b) Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt bei $(1|0)$. Die Fläche liegt zwischen dem Graphen und der x-Achse.

c) Da $f(x) \ge 0$, ist die Fläche im Bereich der Nullstelle 0, da hier kein Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse eingeschlossen wird, außer man betrachtet ein Intervall. Falls ein Intervall wie $[0, 2]$ gemeint wäre: $\int{0}^{2} 2(x-1)^2 dx = [\frac{2}{3}(x-1)^3]{0}^{2} = \frac{2}{3}(1) - \frac{2}{3}(-1) = \frac{4}{3}$.

Aufgabe 1: (4 Punkte)

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = x^2$ und $g(x) = 4$.
a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt, der von beiden Graphen eingeschlossen wird.

Aufgabe 2: (2 Punkte)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vollständig von den Graphen $f(x) = x^3 - x$ und $g(x) = 0$ eingeschlossen wird.

Aufgabe 3: (4 Punkte)

Gegeben sind $f(x) = e^x$ und $g(x) = e^{-x}$ sowie die vertikale Begrenzung $x=1$.
a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Funktionen.
b) Berechnen Sie die Fläche, die von $f, g$ und $x=1$ im ersten Quadranten begrenzt wird.

Aufgabe 4: (2 Punkte)

Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen $f(x) = \sin(x)$ und $g(x) = 0$ im Intervall $[0, 2\pi]$.

Aufgabe 5: (4 Punkte)

Gegeben sind $f(x) = x^2 - 2x$ und $g(x) = -x^2 + 4$.
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte.
b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt zwischen den Graphen.

Aufgabe 6: (2 Punkte)

Berechnen Sie die Fläche, die durch $f(x) = \sqrt{x}$ und $g(x) = x$ eingeschlossen wird.

Aufgabe 7: (1 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{x}$ für $x>0$ und die Geraden $x=1$ und $x=e$. Berechnen Sie den Flächeninhalt unter dem Graphen.

Aufgabe 8: (4 Punkte)

Gegeben sind $f(x) = x^3$ und $g(x) = x$.
a) Zeigen Sie, dass drei Schnittpunkte existieren.
b) Berechnen Sie die Gesamtfläche zwischen den Graphen.

Aufgabe 9: (2 Punkte)

Berechnen Sie die Fläche, die von $f(x) = 4-x^2$ und $g(x) = x+2$ eingeschlossen wird.

Aufgabe 10: (6 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = 2x^2 - 4x + 2$ und $g(x) = 0$.
a) Bestimmen Sie die Nullstellen von $f(x)$.
b) Skizzieren Sie die Lage der Fläche.
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt.


Anwendungen der Integralrechnung (Flächen zwischen Graphen)

Aufgabe 1: (4 Punkte)

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = x^2$ und $g(x) = 4$.
a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt, der von beiden Graphen eingeschlossen wird.

Aufgabe 2: (2 Punkte)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vollständig von den Graphen $f(x) = x^3 - x$ und $g(x) = 0$ eingeschlossen wird.

Aufgabe 3: (4 Punkte)

Gegeben sind $f(x) = e^x$ und $g(x) = e^{-x}$ sowie die vertikale Begrenzung $x=1$.
a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Funktionen.
b) Berechnen Sie die Fläche, die von $f, g$ und $x=1$ im ersten Quadranten begrenzt wird.

Aufgabe 4: (2 Punkte)

Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen $f(x) = \sin(x)$ und $g(x) = 0$ im Intervall $[0, 2\pi]$.

Aufgabe 5: (4 Punkte)

Gegeben sind $f(x) = x^2 - 2x$ und $g(x) = -x^2 + 4$.
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte.
b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt zwischen den Graphen.

Aufgabe 6: (2 Punkte)

Berechnen Sie die Fläche, die durch $f(x) = \sqrt{x}$ und $g(x) = x$ eingeschlossen wird.

Aufgabe 7: (1 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{x}$ für $x>0$ und die Geraden $x=1$ und $x=e$. Berechnen Sie den Flächeninhalt unter dem Graphen.

Aufgabe 8: (4 Punkte)

Gegeben sind $f(x) = x^3$ und $g(x) = x$.
a) Zeigen Sie, dass drei Schnittpunkte existieren.
b) Berechnen Sie die Gesamtfläche zwischen den Graphen.

Aufgabe 9: (2 Punkte)

Berechnen Sie die Fläche, die von $f(x) = 4-x^2$ und $g(x) = x+2$ eingeschlossen wird.

Aufgabe 10: (6 Punkte)

Gegeben ist $f(x) = 2x^2 - 4x + 2$ und $g(x) = 0$.
a) Bestimmen Sie die Nullstellen von $f(x)$.
b) Skizzieren Sie die Lage der Fläche.
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt.


Musterlösung


Aufgabe 1: (4 Punkte)

a) $x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x2 = 2$. Schnittpunkte: $(-2|4)$ und $(2|4)$.

b) $A = \int{-2}^{2} (4 - x^2) dx = [4x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{2} = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \approx 10,67$.

Aufgabe 2: (2 Punkte)

Nullstellen von $f(x)$: $x(x^2-1)=0 \Rightarrow x_1=-1, x_2=0, x_3=1$. Die Fläche besteht aus zwei Teilbereichen: $A1 = \int{-1}^{0} (x^3-x) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2]_{-1}^{0} = 0 - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$. $A2 = \int{0}^{1} (0 - (x^3-x)) dx = [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2]_{0}^{1} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Gesamtfläche $A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0,5$.

Aufgabe 3: (4 Punkte)

a) $e^x = e^{-x} \Rightarrow x = -x \Rightarrow x=0$. Schnittpunkt $(0|1)$.

b) $A = \int{0}^{1} (e^x - e^{-x}) dx = [e^x + e^{-x}]{0}^{1} = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^0) = e + \frac{1}{e} - 2 \approx 1,086$.

Aufgabe 4: (2 Punkte)

Nullstellen bei $0, \pi, 2\pi$. $A1 = \int{0}^{\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2$. $A2 = \int{\pi}^{2\pi} (0 - \sin(x)) dx = [\cos(x)]_{\pi}^{2\pi} = 1 - (-1) = 2$. Gesamtfläche $A = 2 + 2 = 4$.

Aufgabe 5: (4 Punkte)

a) $x^2-2x = -x^2+4 \Rightarrow 2x^2-2x-4=0 \Rightarrow x^2-x-2=0$. Mit pq-Formel: $x_1 = -1, x2 = 2$.

b) $A = \int{-1}^{2} (-x^2+4 - (x^2-2x)) dx = \int{-1}^{2} (-2x^2+2x+4) dx = [-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x]{-1}^{2} = (-\frac{16}{3} + 4 + 8) - (\frac{2}{3} + 1 - 4) = (\frac{20}{3}) - (-\frac{7}{3}) = 9$.

Aufgabe 6: (2 Punkte)

Schnittpunkte: $\sqrt{x} = x \Rightarrow x = x^2 \Rightarrow x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0$. Schnittpunkte bei $x=0$ und $x=1$. $A = \int{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx = [\frac{2}{3}x^{1,5} - \frac{1}{2}x^2]{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

Aufgabe 7: (1 Punkte)

$A = \int{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

Aufgabe 8: (4 Punkte)

a) $x^3 = x \Rightarrow x(x^2-1) = 0 \Rightarrow x_1=-1, x_2=0, x_3=1$.

b) $A1 = \int{-1}^{0} (x^3 - x) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2]_{-1}^{0} = 0 - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$. $A2 = \int{0}^{1} (x - x^3) dx = [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. Gesamtfläche $A = 0,5$.

Aufgabe 9: (2 Punkte)

Schnittpunkte: $4-x^2 = x+2 \Rightarrow x^2+x-2=0$. $(x+2)(x-1)=0 \Rightarrow x_1=-2, x2=1$. $A = \int{-2}^{1} (4-x^2 - x - 2) dx = \int{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx = [-\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x]{-2}^{1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (\frac{8}{3} - 2 - 4) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = 4,5$.

Aufgabe 10: (6 Punkte)

a) $2(x^2-2x+1) = 0 \Rightarrow 2(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x=1$ (doppelte Nullstelle).

b) Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt bei $(1|0)$. Die Fläche liegt zwischen dem Graphen und der x-Achse.

c) Da $f(x) \ge 0$, ist die Fläche im Bereich der Nullstelle 0, da hier kein Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse eingeschlossen wird, außer man betrachtet ein Intervall. Falls ein Intervall wie $[0, 2]$ gemeint wäre: $\int{0}^{2} 2(x-1)^2 dx = [\frac{2}{3}(x-1)^3]{0}^{2} = \frac{2}{3}(1) - \frac{2}{3}(-1) = \frac{4}{3}$.

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Die Aufgaben entsprechen in der Schwierigkeit dem klassenüblichen Niveau und eignen sich sowohl zum Üben für Klassenarbeiten als auch für den Einsatz im Unterricht. Die Lösungen kannst du dir anzeigen lassen oder das Arbeitsblatt als PDF oder auf Papier ausdrucken.

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