Exponentialfunktionen ableiten und integrieren - Arbeitsblatt für Mathe (Klasse 13)

Bestimme die erste Ableitung der Funktion $f(x) = e^{3x} + 4e^{-x}$.

Berechne das unbestimmte Integral für die folgenden Funktionen:
a) $\int e^{2x} dx$
b) $\int (e^x + 5) dx$

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x \cdot e^x$. Bestimme die erste Ableitung unter Verwendung der Produktregel.

Bestimme die Stammfunktion $F(x)$ für $f(x) = e^{2x+3}$ mit der Bedingung $F(0) = 1$.

Leite die Funktion $f(x) = e^{x^2}$ ab.

Berechne das bestimmte Integral $\int_{0}^{1} e^{3x} dx$.

Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x) = \frac{e^x}{x^2+1}$ unter Anwendung der Quotientenregel.

Löse die Gleichung $f'(x) = 0$ für $f(x) = (x-2)e^x$.

Bestimme die Stammfunktion von $f(x) = 3e^{4x} - 2e^{-x}$.

Gegeben ist $f(x) = e^{-x^2}$.
a) Bestimme $f'(x)$.
b) Bestimme $f''(x)$.

$f'(x) = 3e^{3x} - 4e^{-x}$.

a) $\frac{1}{2}e^{2x} + C$
b) $e^x + 5x + C$

$f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$.

Die allgemeine Stammfunktion ist $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+3} + C$. Mit $F(0) = 1$ folgt $\frac{1}{2}e^3 + C = 1$, also $C = 1 - \frac{1}{2}e^3$. Somit ist $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+3} + 1 - \frac{1}{2}e^3$.

Mit der Kettenregel ergibt sich $f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$.

$[\frac{1}{3}e^{3x}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{3}e^0 = \frac{1}{3}(e^3 - 1)$.

$f'(x) = \frac{e^x(x^2+1) - e^x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2} = \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}$.

$f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-2)e^x = e^x(1+x-2) = e^x(x-1)$. Da $e^x$ niemals null wird, gilt $x-1=0$, also $x=1$.

$F(x) = \frac{3}{4}e^{4x} + 2e^{-x} + C$.

a) $f'(x) = -2x e^{-x^2}$.
b) $f''(x) = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x)e^{-x^2} = (4x^2 - 2)e^{-x^2}$.