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Logarithmus berechnen - Arbeitsblatt für Mathe (Klasse 13)
Logarithmus berechnen
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Bestimme den Wert der folgenden Logarithmen:
a) $\log_{2}(8)$
b) $\log_{3}(81)$
Aufgabe 2: (3 Punkte)
Löse die Gleichung nach $x$ auf:
a) $2^x = 32$
b) $5^x = 0,04$
c) $10^x = 0,001$
Aufgabe 3: (3 Punkte)
Wende die Logarithmengesetze an, um den Ausdruck zu vereinfachen:
a) $\log_{b}(x) + \log_{b}(y)$
b) $\log_{b}(x^n)$
c) $\log_{b}(x) - \log_{b}(y)$
Aufgabe 4: (2 Punkte)
Schreibe als einen einzigen Logarithmus: $2 \cdot \log(a) + 3 \cdot \log(b) - \log(c)$
Aufgabe 5: (2 Punkte)
Löse die Gleichung $3^x = 7$ unter Verwendung des Logarithmus. Gib das Ergebnis exakt und gerundet auf zwei Nachkommastellen an.
Aufgabe 6: (6 Punkte)
Bestimme die Definitionsmenge und löse die Gleichung:
a) $\log_{2}(x) = 3$
b) $\log_{3}(x-1) = 2$
c) $\log_{4}(2x+2) = 2$
Aufgabe 7: (1 Punkte)
Berechne den Wert mit Hilfe des Basiswechsel-Logarithmus: $\log_{4}(16)$
Aufgabe 8: (2 Punkte)
Löse die Gleichung: $\log_{2}(x) + \log_{2}(x-2) = 3$
Aufgabe 9: (2 Punkte)
Bestimme $x$ für:
a) $e^x = 5$
b) $e^{2x} = 10$
Aufgabe 10: (3 Punkte)
Wahr oder falsch? Begründe kurz:
a) $\log(a+b) = \log(a) + \log(b)$
b) $\log(a^n) = n \cdot \log(a)$
c) $\log(a) - \log(b) = \frac{\log(a)}{\log(b)}$
Musterlösung
Aufgabe 1: (2 Punkte)
a) $3$, da $2^3 = 8$.
b) $4$, da $3^4 = 81$.
Aufgabe 2: (3 Punkte)
a) $x = \log_{2}(32) = 5$.
b) $x = \log_{5}(0,04) = -2$, da $5^{-2} = \frac{1}{25} = 0,04$.
c) $x = \log_{10}(0,001) = -3$, da $10^{-3} = 0,001$.
Aufgabe 3: (3 Punkte)
a) $\log_{b}(x \cdot y)$.
b) $n \cdot \log_{b}(x)$.
c) $\log_{b}(\frac{x}{y})$.
Aufgabe 4: (2 Punkte)
$\log(a^2) + \log(b^3) - \log(c) = \log(\frac{a^2 \cdot b^3}{c})$.
Aufgabe 5: (2 Punkte)
$x = \log_{3}(7) = \frac{\ln(7)}{\ln(3)} \approx 1,77$.
Aufgabe 6: (6 Punkte)
a) $D = \mathbb{R}^+, x = 2^3 = 8$.
b) $D = (1, \infty), x-1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 10$.
c) $D = (-1, \infty), 2x+2 = 4^2 = 16 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$.
Aufgabe 7: (1 Punkte)
$\log_{4}(16) = \frac{\ln(16)}{\ln(4)} = 2$.
Aufgabe 8: (2 Punkte)
Definitionsbereich: $x > 2$. $\log_{2}(x(x-2)) = 3 \Rightarrow x^2 - 2x = 2^3 = 8 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0$. Lösungen der quadratischen Gleichung: $x_1 = 4, x_2 = -2$. Da $x > 2$ sein muss, ist nur $x = 4$ gültig.
Aufgabe 9: (2 Punkte)
a) $x = \ln(5) \approx 1,61$.
b) $2x = \ln(10) \Rightarrow x = \frac{\ln(10)}{2} \approx 1,15$.
Aufgabe 10: (3 Punkte)
a) Falsch, es gilt $\log(a \cdot\\ b) = \log(a) + \log(b)$.
b) Wahr, dies ist ein Logarithmengesetz.
c) Falsch, es gilt $\log(a) - \log(b) = \log(\frac{a}{b})$.
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Die Aufgaben entsprechen in der Schwierigkeit dem klassenüblichen Niveau und eignen sich sowohl zum Üben für Klassenarbeiten als auch für den Einsatz im Unterricht. Die Lösungen kannst du dir anzeigen lassen oder das Arbeitsblatt als PDF oder auf Papier ausdrucken.
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