Logarithmusfunktionen verstehen - Erklärung für Mathe (Klasse 13)

Was ist ein Logarithmus?

Der Logarithmus ist das Gegenstück zum Potenzieren. Während du beim Potenzieren nach dem Ergebnis suchst (z. B. $2^3 = 8$), fragst du dich beim Logarithmus: "Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um das Ergebnis zu erhalten?"

Wenn gilt $b^x = y$, dann ist der Logarithmus die Antwort auf die Frage nach dem Exponenten $x$. Man schreibt: $$\log_b(y) = x$$

Dabei ist:

• $b$ die Basis (die Zahl, die potenziert wird).
• $y$ der Numerus (das Ergebnis der Potenzierung).
• $x$ der Logarithmus (der gesuchte Exponent).

Die Logarithmusfunktion

Eine Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Wenn die Exponentialfunktion $f(x) = b^x$ lautet, dann ist die Logarithmusfunktion dazu: $$f(x) = \log_b(x)$$

Da sie die Umkehrung ist, spiegelt sie die Exponentialfunktion an der Winkelhalbierenden $y = x$. Während die Exponentialfunktion extrem schnell wächst, wächst die Logarithmusfunktion extrem langsam – sie "bremst" das Wachstum quasi ab.

Ein anschauliches Beispiel

Stell dir vor, du hast eine Bakterienkultur, die sich jede Stunde verdoppelt. Die Anzahl der Bakterien nach $x$ Stunden lässt sich durch $f(x) = 2^x$ beschreiben.

Wenn du nun wissen willst, nach wie vielen Stunden ($x$) du genau $128$ Bakterien hast, stellst du die Gleichung auf: $$2^x = 128$$

Um $x$ zu isolieren, nutzt du den Logarithmus zur Basis $2$: $$x = \log_2(128)$$

Da $2^7 = 128$ ist, ergibt sich: $$x = 7$$

Du benötigst also genau $7$ Stunden, um die Zielmenge zu erreichen.

Wichtige Regeln für die Arbeit

1. Definitionsbereich: Der Numerus $y$ muss immer größer als $0$ sein ($y > 0$). Du kannst den Logarithmus einer negativen Zahl oder von Null nicht bilden, da eine positive Basis potenziert niemals negativ oder Null werden kann.
2. Basis: Die Basis $b$ muss positiv und ungleich $1$ sein ($b > 0, b \neq 1$).
3. Spezialfall: Der Logarithmus zur Basis $10$ heißt Zehnerlogarithmus ($\lg$) und der Logarithmus zur Basis $e$ (Eulersche Zahl) heißt natürlicher Logarithmus ($\ln$).