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Mathe Abitur Aufgaben Analysis (gemischt) - Arbeitsblatt für Mathe (Klasse 13)
Mathe Abitur Aufgaben Analysis (gemischt)
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Berechnen Sie das bestimmte Integral $\int_{0}^{1} (3x^2 + 2x) \, dx$.
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Gegeben ist $f(x) = \ln(x^2 + 1)$.
a) Zeigen Sie, dass der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
b) Bestimmen Sie die Tangente an der Stelle $x = 1$.
Aufgabe 3: (2 Punkte)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $y' = 2y$.
Aufgabe 4: (2 Punkte)
Bestimmen Sie den Grenzwert $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 5}{2x^2 + x}$.
Aufgabe 5: (6 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^3 - 3x$.
a) Berechnen Sie die Nullstellen.
b) Bestimmen Sie den Wendepunkt.
c) Skizzieren Sie den Verlauf grob.
Aufgabe 6: (2 Punkte)
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von $f(x) = x^2$ und $g(x) = 4$ eingeschlossen wird.
Aufgabe 7: (2 Punkte)
Untersuchen Sie $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ auf Definitionslücken und Asymptoten.
Aufgabe 8: (1 Punkte)
Bestimmen Sie die Stammfunktion von $f(x) = \sin(x) + e^x$.
Aufgabe 9: (4 Punkte)
Gegeben ist eine Schar von Funktionen $f_k(x) = k \cdot x^2$.
a) Zeigen Sie, dass alle Graphen durch den Ursprung verlaufen.
b) Bestimmen Sie $k$ so, dass der Punkt $(2|4)$ auf dem Graphen liegt.
Musterlösung
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Stammfunktion $F(x) = x^3 + x^2$. Berechnung: $F(1) - F(0) = (1^3 + 1^2) - (0) = 2$.
Aufgabe 2: (6 Punkte)
a) $f(-x) = \ln((-x)^2 + 1) = \ln(x^2 + 1) = f(x)$, daher symmetrisch zur y-Achse.
b) $f(1) = \ln(2)$. Ableitung $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$, $f'(1) = 1$. Tangente: $y - \ln(2) = 1(x - 1) \Rightarrow y = x - 1 + \ln(2)$.
Aufgabe 3: (2 Punkte)
Es handelt sich um eine lineare DGL erster Ordnung. Die Lösung lautet $y(x) = C \cdot e^{2x}$ mit $C \in \mathbb{R}$.
Aufgabe 4: (2 Punkte)
Man teilt Zähler und Nenner durch $x^2$: $\lim_{x \to \infty} \frac{3 - 5/x^2}{2 + 1/x} = \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Aufgabe 5: (6 Punkte)
a) $x^3 - 3x = x(x^2-3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = \sqrt{3}, x_3 = -\sqrt{3}$.
b) $f'(x) = 3x^2 - 3, f''(x) = 6x$. $f''(x) = 0 \Rightarrow x = 0$. Wendepunkt bei $(0|0)$.
c) Der Graph verläuft von links unten nach rechts oben durch den Ursprung.
Aufgabe 6: (2 Punkte)
Schnittpunkte: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Fläche $A = \int{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = [4x - \frac{1}{3}x^3]{-2}^{2} = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16/3 + 16/3 = 32/3 \approx 10,67$.
Aufgabe 7: (2 Punkte)
Definitionsbereich $D = \mathbb{R} \setminus {-1}$. Polstelle bei $x = -1$. Da $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1$, ist $y = 1$ waagerechte Asymptote.
Aufgabe 8: (1 Punkte)
$F(x) = -\cos(x) + e^x + C$ mit $C \in \mathbb{R}$.
Aufgabe 9: (4 Punkte)
a) $f_k(0) = k \cdot 0^2 = 0$ für alle $k$.
b) $4 = k \cdot 2^2 \Rightarrow 4 = 4k \Rightarrow k = 1$.
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