Wachstums- und Zerfallsprozesse - Arbeitsblatt für Mathe (Klasse 13)

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Aufgabe 1: (2 Punkte)

Eine Bakterienkultur wächst exponentiell. Zu Beginn sind 500 Bakterien vorhanden. Nach 3 Stunden sind es 2000. Bestimme die Wachstumsfunktion der Form $N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$.

Mit $N(0) = 500$ folgt $N_0 = 500$. Aus $2000 = 500 \cdot e^{k \cdot 3}$ folgt $4 = e^{3k}$, also $k = \frac{\ln(4)}{3} \approx 0,4621$. Die Funktion lautet $N(t) = 500 \cdot e^{0,4621t}$.

Aufgabe 2: (4 Punkte)

Ein radioaktives Präparat hat eine Halbwertszeit von 12 Jahren.
a) Bestimme den Zerfallsprozentsatz pro Jahr.
b) Wie viel Prozent des Stoffes sind nach 50 Jahren noch vorhanden?

a) $0,5 = a^{12} \implies a = 0,5^{1/12} \approx 0,9439$. Der Zerfall beträgt ca. 5,61% pro Jahr.
b) $N(50) = N_0 \cdot 0,5^{50/12} \approx N_0 \cdot 0,0557$. Es sind noch ca. 5,57% vorhanden.

Aufgabe 3: (4 Punkte)

Ein Kapital von 5000 Euro wird mit 3% Zinsen p.a. angelegt (Zinseszins).
a) Stelle die Funktionsgleichung für das Kapital $K(t)$ nach $t$ Jahren auf.
b) Berechne, wann sich das Kapital verdoppelt hat.

a) $K(t) = 5000 \cdot 1,03^t$
b) $10000 = 5000 \cdot 1,03^t \implies 2 = 1,03^t \implies t = \frac{\ln(2)}{\ln(1,03)} \approx 23,45$ Jahre.

Aufgabe 4: (2 Punkte)

Das beschränkte Wachstum wird durch die Formel $N(t) = S - (S - N_0) \cdot e^{-kt}$ beschrieben. S ist die Kapazitätsgrenze.
a) Erläutere die Bedeutung von $S$ im Kontext.
b) Welche Form nimmt der Graph für $t \to \infty$ an?

a) $S$ ist der maximale Bestand, den die Population in einer Umgebung erreichen kann.
b) Der Graph nähert sich horizontal der Asymptote $N(t) = S$ an.

Aufgabe 5: (6 Punkte)

Eine Population folgt der logistischen Wachstumsfunktion $\dot{N}(t) = k \cdot N(t) \cdot (S - N(t))$.
a) Skizziere den Verlauf der Kurve.
b) Wo liegt der Wendepunkt der Funktion?
c) Was bedeutet dieser Punkt für das Wachstum?

a) S-förmige Kurve.
b) Der Wendepunkt liegt bei $N = \frac{S}{2}$.
c) Im Wendepunkt ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal.

Aufgabe 6: (4 Punkte)

Ein Medikament wird abgebaut. Die Konzentration im Blut folgt $C(t) = C_0 \cdot e^{-0,2t}$ (t in Stunden).
a) Wie hoch ist die Abbaurate pro Stunde?
b) Bestimme die Halbwertszeit.

a) Die Abbaurate beträgt $1 - e^{-0,2} \approx 18,13\%$.
b) $0,5 = e^{-0,2t} \implies \ln(0,5) = -0,2t \implies t = \frac{\ln(0,5)}{-0,2} \approx 3,47$ Stunden.

Aufgabe 7: (2 Punkte)

Ein Baum wächst nach einem Modell, bei dem die Zuwachsrate proportional zur Differenz zwischen Endgröße und aktueller Größe ist. Er startet bei 1m und erreicht nach 5 Jahren 3m, bei einer Endgröße von 10m. Bestimme $k$.

Ansatz: $N(t) = 10 - (10 - 1) \cdot e^{-kt}$. Einsetzen: $3 = 10 - 9 \cdot e^{-5k} \implies -7 = -9 \cdot e^{-5k} \implies \frac{7}{9} = e^{-5k} \implies k = \frac{\ln(9/7)}{5} \approx 0,0501$.

Aufgabe 8: (2 Punkte)

Vergleiche exponentielles Wachstum mit logistischem Wachstum hinsichtlich ihrer langfristigen Entwicklung.

Exponentielles Wachstum wächst unbeschränkt gegen unendlich. Logistisches Wachstum nähert sich einer Kapazitätsgrenze $S$ an.

Aufgabe 9: (4 Punkte)

Ein Wertpapier verliert jährlich 10% an Wert.
a) Wie lautet der Wachstumsfaktor?
b) Nach wie vielen Jahren ist nur noch die Hälfte des Wertes vorhanden?

a) Der Wachstumsfaktor ist $0,9$.
b) $0,5 = 0,9^t \implies t = \frac{\ln(0,5)}{\ln(0,9)} \approx 6,58$ Jahre.

Aufgabe 10: (2 Punkte)

Die Anzahl der Nutzer einer App wächst logistisch mit $S = 1.000.000$ und $N(0) = 10.000$. Nach 1 Jahr sind es $50.000$ Nutzer. Bestimme die Zeit $t$, bei der die Wachstumsgeschwindigkeit am höchsten ist.

Die Wachstumsgeschwindigkeit ist am höchsten bei $N = \frac{S}{2} = 500.000$. Man muss $500.000 = 1.000.000 - (1.000.000 - 10.000) \cdot e^{-kt}$ nach $t$ auflösen, nachdem $k$ aus den gegebenen Werten bestimmt wurde.

Aufgabe 1: (2 Punkte)

Eine Bakterienkultur wächst exponentiell. Zu Beginn sind 500 Bakterien vorhanden. Nach 3 Stunden sind es 2000. Bestimme die Wachstumsfunktion der Form $N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$.

Aufgabe 2: (4 Punkte)

Ein radioaktives Präparat hat eine Halbwertszeit von 12 Jahren.
a) Bestimme den Zerfallsprozentsatz pro Jahr.
b) Wie viel Prozent des Stoffes sind nach 50 Jahren noch vorhanden?

Aufgabe 3: (4 Punkte)

Ein Kapital von 5000 Euro wird mit 3% Zinsen p.a. angelegt (Zinseszins).
a) Stelle die Funktionsgleichung für das Kapital $K(t)$ nach $t$ Jahren auf.
b) Berechne, wann sich das Kapital verdoppelt hat.

Aufgabe 4: (2 Punkte)

Das beschränkte Wachstum wird durch die Formel $N(t) = S - (S - N_0) \cdot e^{-kt}$ beschrieben. S ist die Kapazitätsgrenze.
a) Erläutere die Bedeutung von $S$ im Kontext.
b) Welche Form nimmt der Graph für $t \to \infty$ an?

Aufgabe 5: (6 Punkte)

Eine Population folgt der logistischen Wachstumsfunktion $\dot{N}(t) = k \cdot N(t) \cdot (S - N(t))$.
a) Skizziere den Verlauf der Kurve.
b) Wo liegt der Wendepunkt der Funktion?
c) Was bedeutet dieser Punkt für das Wachstum?

Aufgabe 6: (4 Punkte)

Ein Medikament wird abgebaut. Die Konzentration im Blut folgt $C(t) = C_0 \cdot e^{-0,2t}$ (t in Stunden).
a) Wie hoch ist die Abbaurate pro Stunde?
b) Bestimme die Halbwertszeit.

Aufgabe 7: (2 Punkte)

Ein Baum wächst nach einem Modell, bei dem die Zuwachsrate proportional zur Differenz zwischen Endgröße und aktueller Größe ist. Er startet bei 1m und erreicht nach 5 Jahren 3m, bei einer Endgröße von 10m. Bestimme $k$.

Aufgabe 8: (2 Punkte)

Vergleiche exponentielles Wachstum mit logistischem Wachstum hinsichtlich ihrer langfristigen Entwicklung.

Aufgabe 9: (4 Punkte)

Ein Wertpapier verliert jährlich 10% an Wert.
a) Wie lautet der Wachstumsfaktor?
b) Nach wie vielen Jahren ist nur noch die Hälfte des Wertes vorhanden?

Aufgabe 10: (2 Punkte)

Die Anzahl der Nutzer einer App wächst logistisch mit $S = 1.000.000$ und $N(0) = 10.000$. Nach 1 Jahr sind es $50.000$ Nutzer. Bestimme die Zeit $t$, bei der die Wachstumsgeschwindigkeit am höchsten ist.


Wachstums- und Zerfallsprozesse

Aufgabe 1: (2 Punkte)

Eine Bakterienkultur wächst exponentiell. Zu Beginn sind 500 Bakterien vorhanden. Nach 3 Stunden sind es 2000. Bestimme die Wachstumsfunktion der Form $N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$.

Aufgabe 2: (4 Punkte)

Ein radioaktives Präparat hat eine Halbwertszeit von 12 Jahren.
a) Bestimme den Zerfallsprozentsatz pro Jahr.
b) Wie viel Prozent des Stoffes sind nach 50 Jahren noch vorhanden?

Aufgabe 3: (4 Punkte)

Ein Kapital von 5000 Euro wird mit 3% Zinsen p.a. angelegt (Zinseszins).
a) Stelle die Funktionsgleichung für das Kapital $K(t)$ nach $t$ Jahren auf.
b) Berechne, wann sich das Kapital verdoppelt hat.

Aufgabe 4: (2 Punkte)

Das beschränkte Wachstum wird durch die Formel $N(t) = S - (S - N_0) \cdot e^{-kt}$ beschrieben. S ist die Kapazitätsgrenze.
a) Erläutere die Bedeutung von $S$ im Kontext.
b) Welche Form nimmt der Graph für $t \to \infty$ an?

Aufgabe 5: (6 Punkte)

Eine Population folgt der logistischen Wachstumsfunktion $\dot{N}(t) = k \cdot N(t) \cdot (S - N(t))$.
a) Skizziere den Verlauf der Kurve.
b) Wo liegt der Wendepunkt der Funktion?
c) Was bedeutet dieser Punkt für das Wachstum?

Aufgabe 6: (4 Punkte)

Ein Medikament wird abgebaut. Die Konzentration im Blut folgt $C(t) = C_0 \cdot e^{-0,2t}$ (t in Stunden).
a) Wie hoch ist die Abbaurate pro Stunde?
b) Bestimme die Halbwertszeit.

Aufgabe 7: (2 Punkte)

Ein Baum wächst nach einem Modell, bei dem die Zuwachsrate proportional zur Differenz zwischen Endgröße und aktueller Größe ist. Er startet bei 1m und erreicht nach 5 Jahren 3m, bei einer Endgröße von 10m. Bestimme $k$.

Aufgabe 8: (2 Punkte)

Vergleiche exponentielles Wachstum mit logistischem Wachstum hinsichtlich ihrer langfristigen Entwicklung.

Aufgabe 9: (4 Punkte)

Ein Wertpapier verliert jährlich 10% an Wert.
a) Wie lautet der Wachstumsfaktor?
b) Nach wie vielen Jahren ist nur noch die Hälfte des Wertes vorhanden?

Aufgabe 10: (2 Punkte)

Die Anzahl der Nutzer einer App wächst logistisch mit $S = 1.000.000$ und $N(0) = 10.000$. Nach 1 Jahr sind es $50.000$ Nutzer. Bestimme die Zeit $t$, bei der die Wachstumsgeschwindigkeit am höchsten ist.


Musterlösung


Aufgabe 1: (2 Punkte)

Mit $N(0) = 500$ folgt $N_0 = 500$. Aus $2000 = 500 \cdot e^{k \cdot 3}$ folgt $4 = e^{3k}$, also $k = \frac{\ln(4)}{3} \approx 0,4621$. Die Funktion lautet $N(t) = 500 \cdot e^{0,4621t}$.

Aufgabe 2: (4 Punkte)

a) $0,5 = a^{12} \implies a = 0,5^{1/12} \approx 0,9439$. Der Zerfall beträgt ca. 5,61% pro Jahr.
b) $N(50) = N_0 \cdot 0,5^{50/12} \approx N_0 \cdot 0,0557$. Es sind noch ca. 5,57% vorhanden.

Aufgabe 3: (4 Punkte)

a) $K(t) = 5000 \cdot 1,03^t$
b) $10000 = 5000 \cdot 1,03^t \implies 2 = 1,03^t \implies t = \frac{\ln(2)}{\ln(1,03)} \approx 23,45$ Jahre.

Aufgabe 4: (2 Punkte)

a) $S$ ist der maximale Bestand, den die Population in einer Umgebung erreichen kann.
b) Der Graph nähert sich horizontal der Asymptote $N(t) = S$ an.

Aufgabe 5: (6 Punkte)

a) S-förmige Kurve.
b) Der Wendepunkt liegt bei $N = \frac{S}{2}$.
c) Im Wendepunkt ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal.

Aufgabe 6: (4 Punkte)

a) Die Abbaurate beträgt $1 - e^{-0,2} \approx 18,13\%$.
b) $0,5 = e^{-0,2t} \implies \ln(0,5) = -0,2t \implies t = \frac{\ln(0,5)}{-0,2} \approx 3,47$ Stunden.

Aufgabe 7: (2 Punkte)

Ansatz: $N(t) = 10 - (10 - 1) \cdot e^{-kt}$. Einsetzen: $3 = 10 - 9 \cdot e^{-5k} \implies -7 = -9 \cdot e^{-5k} \implies \frac{7}{9} = e^{-5k} \implies k = \frac{\ln(9/7)}{5} \approx 0,0501$.

Aufgabe 8: (2 Punkte)

Exponentielles Wachstum wächst unbeschränkt gegen unendlich. Logistisches Wachstum nähert sich einer Kapazitätsgrenze $S$ an.

Aufgabe 9: (4 Punkte)

a) Der Wachstumsfaktor ist $0,9$.
b) $0,5 = 0,9^t \implies t = \frac{\ln(0,5)}{\ln(0,9)} \approx 6,58$ Jahre.

Aufgabe 10: (2 Punkte)

Die Wachstumsgeschwindigkeit ist am höchsten bei $N = \frac{S}{2} = 500.000$. Man muss $500.000 = 1.000.000 - (1.000.000 - 10.000) \cdot e^{-kt}$ nach $t$ auflösen, nachdem $k$ aus den gegebenen Werten bestimmt wurde.

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Mit diesem Arbeitsblatt üben Schülerinnen und Schüler, wie man Wachstumsprozesse mit unterschiedlichen Funktionen beschreibt und interpretiert. Sie bestimmen Wachstums- und Zerfallsraten, stellen Exponential- und logistische Wachstumsfunktionen auf und analysieren wichtige Punkte wie Halbwertszeiten oder Wendepunkte. Dadurch lernen sie, reale Vorgänge wie Populationswachstum, Zinsentwicklung oder Medikamentenabbau mathematisch zu verstehen und zu berechnen.

Die Aufgaben entsprechen in der Schwierigkeit dem klassenüblichen Niveau und eignen sich sowohl zum Üben für Klassenarbeiten als auch für den Einsatz im Unterricht. Die Lösungen kannst du dir anzeigen lassen oder das Arbeitsblatt als PDF oder auf Papier ausdrucken.

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