Flächen und Volumen von Körpern - Arbeitsblatt für Mathe (Klasse 8)

Mit diesem Arbeitsblatt üben die Schüler das Berechnen von Flächen und Volumina verschiedener geometrischer Formen, wie Rechtecken, Quadern, Zylindern und Kegeln. Dabei lernen sie, die entsprechenden Formeln anzuwenden und zu verstehen, wie sich Änderungen der Maße auf die Berechnungen auswirken. Zudem wird die Fähigkeit gefördert, mathematische Zusammenhänge zu erkennen und diese in eigenen Worten darzustellen.

Die Aufgaben entsprechen in der Schwierigkeit dem klassenüblichen Niveau und eignen sich sowohl zum Üben für Klassenarbeiten als auch für den Einsatz im Unterricht. Die Lösungen kannst du dir anzeigen lassen oder das Arbeitsblatt als PDF oder auf Papier ausdrucken.

Galerie
Aufgabe 1: (2 Punkte)

Berechne die Fläche eines Rechtecks mit einer Länge von 5 cm und einer Breite von 3 cm.
a) Gib die Formel an, die du verwendet hast.
b) Berechne die Fläche.

a) \( A = l \cdot b \)
b) \( A = 5 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} = 15 \, \text{cm}^2 \)

Aufgabe 2: (4 Punkte)

Ein Quader hat die Längen 4 cm, 3 cm und 2 cm.
a) Berechne das Volumen.
b) Berechne die Oberfläche des Quaders.

a) \( V = l \cdot b \cdot h = 4 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} \cdot 2 \, \text{cm} = 24 \, \text{cm}^3 \)
b) \( O = 2(l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h) = 2(4 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} \cdot 2 \, \text{cm} + 3 \, \text{cm} \cdot 2 \, \text{cm}) = 2(12 + 8 + 6) = 52 \, \text{cm}^2 \)

Aufgabe 3: (6 Punkte)

Berechne die Oberfläche und das Volumen eines Zylinders mit einem Radius von 3 cm und einer Höhe von 5 cm.
a) Gib die Formeln an, die du verwendet hast.
b) Berechne die Oberfläche.
c) Berechne das Volumen.

a) \( O = 2 \pi r (r + h) \) und \( V = \pi r^2 h \)
b) \( O = 2 \pi \cdot 3 \, \text{cm} (3 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm}) = 2 \pi \cdot 3 \, \text{cm} \cdot 8 \, \text{cm} = 48 \pi \, \text{cm}^2 \approx 150.8 \, \text{cm}^2 \)
c) \( V = \pi \cdot 3^2 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm} = 45 \pi \, \text{cm}^3 \approx 141.4 \, \text{cm}^3 \)

Aufgabe 4: (6 Punkte)

Ein Würfel hat eine Kantenlänge von 4 cm.
a) Berechne das Volumen des Würfels.
b) Berechne die Oberfläche des Würfels.
c) Was passiert mit dem Volumen, wenn die Kantenlänge verdoppelt wird?

a) \( V = a^3 = 4 \, \text{cm}^3 = 64 \, \text{cm}^3 \)
b) \( O = 6a^2 = 6 \cdot (4 \, \text{cm})^2 = 96 \, \text{cm}^2 \)
c) Wenn die Kantenlänge verdoppelt wird (8 cm), dann ist das neue Volumen \( V' = 8^3 = 512 \, \text{cm}^3 \), das Volumen wird also um den Faktor 8 größer.

Aufgabe 5: (8 Punkte)

Berechne die Fläche und das Volumen eines Prismas mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Höhe von 10 cm.
a) Gib die Formeln an, die du verwendet hast.
b) Berechne das Volumen.
c) Berechne die Oberfläche, wenn das Prisma eine rechteckige Grundfläche hat.

a) \( V = A_{G} \cdot h \) und \( O = 2A_{G} + U_{G} \cdot h \)
b) \( V = 20 \, \text{cm}^2 \cdot 10 \, \text{cm} = 200 \, \text{cm}^3 \)
c) Angenommen, die Grundfläche ist ein Rechteck mit Seitenlängen 5 cm und 4 cm, dann ist \( U_{G} = 2(5 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm}) = 18 \, \text{cm} \) und \( O = 2 imes 20 \, \text{cm}^2 + 18 \, \text{cm} imes 10 \, \text{cm} = 200 \, \text{cm}^2 \).

Aufgabe 6: (6 Punkte)

Ein Kegel hat einen Radius von 3 cm und eine Höhe von 4 cm.
a) Berechne das Volumen des Kegels.
b) Berechne die Oberfläche des Kegels.
c) Gib die Formeln an, die du verwendet hast.

a) \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12 \pi \, \text{cm}^3 \approx 37.7 \, \text{cm}^3 \)
b) \( O = \pi r (r + s), \text{ wobei } s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, \text{ also } O = \pi \cdot 3(3 + 5) = 24 \pi \, \text{cm}^2 \approx 75.4 \, \text{cm}^2 \)
c) \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \text{ und } O = \pi r (r + s) \)

Aufgabe 7: (6 Punkte)

Berechne die Fläche und das Volumen eines Tetraeders mit einer Kantenlänge von 6 cm.
a) Berechne die Fläche.
b) Berechne das Volumen.
c) Gib die Formeln an, die du verwendet hast.

a) \( A = \sqrt{3} a^2 = \sqrt{3} \cdot 6^2 \approx 62.35 \, \text{cm}^2 \)
b) \( V = \frac{a^3}{6 \sqrt{2}} = \frac{6^3}{6 \sqrt{2}} = \frac{216}{6 \sqrt{2}} \approx 17.0 \, \text{cm}^3 \)
c) \( A = \sqrt{3} a^2 \text{ und } V = \frac{a^3}{6 \sqrt{2}} \)

Aufgabe 1: (2 Punkte)

Berechne die Fläche eines Rechtecks mit einer Länge von 5 cm und einer Breite von 3 cm.
a) Gib die Formel an, die du verwendet hast.
b) Berechne die Fläche.

Aufgabe 2: (4 Punkte)

Ein Quader hat die Längen 4 cm, 3 cm und 2 cm.
a) Berechne das Volumen.
b) Berechne die Oberfläche des Quaders.

Aufgabe 3: (6 Punkte)

Berechne die Oberfläche und das Volumen eines Zylinders mit einem Radius von 3 cm und einer Höhe von 5 cm.
a) Gib die Formeln an, die du verwendet hast.
b) Berechne die Oberfläche.
c) Berechne das Volumen.

Aufgabe 4: (6 Punkte)

Ein Würfel hat eine Kantenlänge von 4 cm.
a) Berechne das Volumen des Würfels.
b) Berechne die Oberfläche des Würfels.
c) Was passiert mit dem Volumen, wenn die Kantenlänge verdoppelt wird?

Aufgabe 5: (8 Punkte)

Berechne die Fläche und das Volumen eines Prismas mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Höhe von 10 cm.
a) Gib die Formeln an, die du verwendet hast.
b) Berechne das Volumen.
c) Berechne die Oberfläche, wenn das Prisma eine rechteckige Grundfläche hat.

Aufgabe 6: (6 Punkte)

Ein Kegel hat einen Radius von 3 cm und eine Höhe von 4 cm.
a) Berechne das Volumen des Kegels.
b) Berechne die Oberfläche des Kegels.
c) Gib die Formeln an, die du verwendet hast.

Aufgabe 7: (6 Punkte)

Berechne die Fläche und das Volumen eines Tetraeders mit einer Kantenlänge von 6 cm.
a) Berechne die Fläche.
b) Berechne das Volumen.
c) Gib die Formeln an, die du verwendet hast.


Flächen und Volumen von Körpern

Aufgabe 1: (2 Punkte)

Berechne die Fläche eines Rechtecks mit einer Länge von 5 cm und einer Breite von 3 cm.
a) Gib die Formel an, die du verwendet hast.
b) Berechne die Fläche.

Aufgabe 2: (4 Punkte)

Ein Quader hat die Längen 4 cm, 3 cm und 2 cm.
a) Berechne das Volumen.
b) Berechne die Oberfläche des Quaders.

Aufgabe 3: (6 Punkte)

Berechne die Oberfläche und das Volumen eines Zylinders mit einem Radius von 3 cm und einer Höhe von 5 cm.
a) Gib die Formeln an, die du verwendet hast.
b) Berechne die Oberfläche.
c) Berechne das Volumen.

Aufgabe 4: (6 Punkte)

Ein Würfel hat eine Kantenlänge von 4 cm.
a) Berechne das Volumen des Würfels.
b) Berechne die Oberfläche des Würfels.
c) Was passiert mit dem Volumen, wenn die Kantenlänge verdoppelt wird?

Aufgabe 5: (8 Punkte)

Berechne die Fläche und das Volumen eines Prismas mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Höhe von 10 cm.
a) Gib die Formeln an, die du verwendet hast.
b) Berechne das Volumen.
c) Berechne die Oberfläche, wenn das Prisma eine rechteckige Grundfläche hat.

Aufgabe 6: (6 Punkte)

Ein Kegel hat einen Radius von 3 cm und eine Höhe von 4 cm.
a) Berechne das Volumen des Kegels.
b) Berechne die Oberfläche des Kegels.
c) Gib die Formeln an, die du verwendet hast.

Aufgabe 7: (6 Punkte)

Berechne die Fläche und das Volumen eines Tetraeders mit einer Kantenlänge von 6 cm.
a) Berechne die Fläche.
b) Berechne das Volumen.
c) Gib die Formeln an, die du verwendet hast.


Musterlösung


Aufgabe 1: (2 Punkte)

a) \( A = l \cdot b \)
b) \( A = 5 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} = 15 \, \text{cm}^2 \)

Aufgabe 2: (4 Punkte)

a) \( V = l \cdot b \cdot h = 4 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} \cdot 2 \, \text{cm} = 24 \, \text{cm}^3 \)
b) \( O = 2(l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h) = 2(4 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} \cdot 2 \, \text{cm} + 3 \, \text{cm} \cdot 2 \, \text{cm}) = 2(12 + 8 + 6) = 52 \, \text{cm}^2 \)

Aufgabe 3: (6 Punkte)

a) \( O = 2 \pi r (r + h) \) und \( V = \pi r^2 h \)
b) \( O = 2 \pi \cdot 3 \, \text{cm} (3 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm}) = 2 \pi \cdot 3 \, \text{cm} \cdot 8 \, \text{cm} = 48 \pi \, \text{cm}^2 \approx 150.8 \, \text{cm}^2 \)
c) \( V = \pi \cdot 3^2 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm} = 45 \pi \, \text{cm}^3 \approx 141.4 \, \text{cm}^3 \)

Aufgabe 4: (6 Punkte)

a) \( V = a^3 = 4 \, \text{cm}^3 = 64 \, \text{cm}^3 \)
b) \( O = 6a^2 = 6 \cdot (4 \, \text{cm})^2 = 96 \, \text{cm}^2 \)
c) Wenn die Kantenlänge verdoppelt wird (8 cm), dann ist das neue Volumen \( V' = 8^3 = 512 \, \text{cm}^3 \), das Volumen wird also um den Faktor 8 größer.

Aufgabe 5: (8 Punkte)

a) \( V = A_{G} \cdot h \) und \( O = 2A_{G} + U_{G} \cdot h \)
b) \( V = 20 \, \text{cm}^2 \cdot 10 \, \text{cm} = 200 \, \text{cm}^3 \)
c) Angenommen, die Grundfläche ist ein Rechteck mit Seitenlängen 5 cm und 4 cm, dann ist \( U_{G} = 2(5 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm}) = 18 \, \text{cm} \) und \( O = 2 imes 20 \, \text{cm}^2 + 18 \, \text{cm} imes 10 \, \text{cm} = 200 \, \text{cm}^2 \).

Aufgabe 6: (6 Punkte)

a) \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12 \pi \, \text{cm}^3 \approx 37.7 \, \text{cm}^3 \)
b) \( O = \pi r (r + s), \text{ wobei } s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, \text{ also } O = \pi \cdot 3(3 + 5) = 24 \pi \, \text{cm}^2 \approx 75.4 \, \text{cm}^2 \)
c) \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \text{ und } O = \pi r (r + s) \)

Aufgabe 7: (6 Punkte)

a) \( A = \sqrt{3} a^2 = \sqrt{3} \cdot 6^2 \approx 62.35 \, \text{cm}^2 \)
b) \( V = \frac{a^3}{6 \sqrt{2}} = \frac{6^3}{6 \sqrt{2}} = \frac{216}{6 \sqrt{2}} \approx 17.0 \, \text{cm}^3 \)
c) \( A = \sqrt{3} a^2 \text{ und } V = \frac{a^3}{6 \sqrt{2}} \)

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