pq-Formel - Erklärung für Mathe (Klasse 8)

Was ist die pq-Formel?

Die pq-Formel ist dein Werkzeug, um quadratische Gleichungen zu lösen. Wenn du eine Gleichung hast, in der ein $x^2$ vorkommt, hilft dir diese Formel dabei, die Werte für $x$ zu finden, bei denen die Gleichung wahr wird.

Damit du die Formel anwenden kannst, muss die Gleichung in der sogenannten Normalform stehen:

$$x^2 + px + q = 0$$

Das bedeutet: Vor dem $x^2$ darf keine Zahl stehen (außer einer unsichtbaren 1) und auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens muss eine $0$ stehen.

Die Formel lautet dann:

$$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$$

Schritt-für-Schritt zur Lösung

1. Normalform prüfen: Steht deine Gleichung schon in der Form $x^2 + px + q = 0$? Wenn nicht, stelle sie um.
2. p und q bestimmen: Lies die Zahlen ab, die für $p$ und $q$ stehen. Achte dabei unbedingt auf das Vorzeichen!
3. Einsetzen: Setze deine Werte für $p$ und $q$ in die Formel ein.
4. Ausrechnen: Berechne zuerst den Wert unter der Wurzel (die Diskriminante) und ziehe dann die Wurzel. Am Ende erhältst du durch das $\pm$ zwei Ergebnisse: $x_1$ (mit Plus) und $x_2$ (mit Minus).

Ein Beispiel

Löse die Gleichung: $x^2 - 6x + 5 = 0$

1. p und q ablesen: Hier ist $p = -6$ und $q = 5$.

2. In die Formel einsetzen: $$x_{1,2} = -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2 - 5}$$

3. Vereinfachen:

$x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 5}$

$x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5}$

$x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{4}$

$x_{1,2} = 3 \pm 2$

4. Ergebnisse berechnen:

$x_1 = 3 + 2 = 5$

$x_2 = 3 - 2 = 1$

Die Lösungen für die Gleichung sind also $5$ und $1$. Wenn du diese Zahlen für $x$ in die Ursprungsgleichung einsetzt, kommt jeweils $0$ heraus.