Strahlensätze - Erklärung für Mathe (Klasse 9)

Was sind die Strahlensätze?

Die Strahlensätze helfen dir dabei, Längen in geometrischen Figuren zu berechnen, ohne sie direkt nachmessen zu müssen. Sie funktionieren immer dann, wenn du zwei Geraden hast, die sich in einem Punkt schneiden (wie ein V), und diese von zwei parallelen Linien gekreuzt werden.

Stell dir zwei Strahlen vor, die vom selben Startpunkt $S$ ausgehen. Auf diesen Strahlen liegen zwei Punkte $A$ und $B$ auf dem einen Strahl und $A'$ und $B'$ auf dem anderen Strahl. Die Verbindungen $AA'$ und $BB'$ sind parallel zueinander.

Der 1. Strahlensatz (Verhältnis auf den Strahlen)

Der erste Strahlensatz besagt, dass sich die Abschnitte auf den Strahlen wie die parallelen Strecken verhalten. Es geht also um das Verhältnis von kurzen zu langen Teilstücken.

Die Formel lautet: $$\frac{SA}{SA'} = \frac{SB}{SB'}$$ oder alternativ: $$\frac{SA}{AB} = \frac{SA'}{A'B'}$$

Das bedeutet einfach: Wenn du den einen Strahl um einen bestimmten Faktor vergrößerst, vergrößert sich der andere Strahl im exakt gleichen Verhältnis.

Der 2. Strahlensatz (Verhältnis der Parallelen)

Der zweite Strahlensatz bezieht sich auf die parallelen Strecken selbst. Er setzt die parallelen Stücke ins Verhältnis zu den Abständen vom Scheitelpunkt $S$.

Die Formel lautet: $$\frac{AA'}{BB'} = \frac{SA}{SB}$$

Ein praktisches Beispiel

Stell dir vor, du möchtest die Höhe eines Baumes bestimmen, ohne auf ihn zu klettern. Du stehst in einer gewissen Entfernung vom Baum. Dein Arm ist ausgestreckt und du hältst einen Stift so, dass er den Baum optisch genau "abdeckt".

• Dein Abstand vom Auge zum Stift ($SA$) beträgt $0{,}5\text{ m}$.
• Die Länge des Stifts ($AA'$) beträgt $0{,}1\text{ m}$.
• Dein Abstand zum Baum ($SB$) beträgt $10\text{ m}$.
• Du willst die Höhe des Baumes ($BB'$) wissen.

Mit dem 2. Strahlensatz stellst du die Formel auf: $$\frac{AA'}{BB'} = \frac{SA}{SB}$$

Setze die Werte ein: $$\frac{0{,}1}{BB'} = \frac{0{,}5}{10}$$

Jetzt löst du nach $BB'$ auf: $$0{,}5 \cdot BB' = 0{,}1 \cdot 10$$ $$0{,}5 \cdot BB' = 1$$ $$BB' = \frac{1}{0{,}5} = 2$$

Der Baum ist also $2\text{ Meter}$ hoch. So einfach kannst du mit den Strahlensätzen Entfernungen und Höhen berechnen, die du sonst kaum messen könntest.